Continuité intégrale à paramètres semi-conv

Bonjour
Dans mon livre, il est écrit p 99 "on déduit du théorème d'Abel que $F$ est définie et continue pour $\lambda\ne 0$

J'arrive à montrer la continuité de cette intégrale à paramètres $F$ en coupant l'intégrale en 2 parties.
$$ F(\lambda)=\int_{0}^{\gamma_{0}} a(x)e^{i \lambda x}dx + \int_{\gamma_{0}}^{+\infty} a(x)e^{i \lambda x}dx~ :=I_{1}~+~I_{2}.
$$ Pour $\varepsilon>0$, on pend $\gamma_{0}$ tel que $I_{2}\leq\varepsilon$ puis on montre que pour tous les $\gamma$ proches de $\gamma_{0}$ on a $I_{1}\leq\varepsilon$

Ma question.
Il me semble que l'auteur suggère qu'il existe une façon beaucoup plus rapide de montrer la continuité de cette intégrale à paramètres, mais je comprends qu'il n'est pas possible d'utiliser le théorème de continuité par domination car l'intégrale est semi-convergente. Comment l'auteur fait-il pour montrer cette continuité rapidement qui "semble" évidente svp ?
Merci par avance.