Continuité intégrale à paramètres semi-conv
Bonjour
Dans mon livre, il est écrit p 99 "on déduit du théorème d'Abel que $F$ est définie et continue pour $\lambda\ne 0$
J'arrive à montrer la continuité de cette intégrale à paramètres $F$ en coupant l'intégrale en 2 parties.
$$ F(\lambda)=\int_{0}^{\gamma_{0}} a(x)e^{i \lambda x}dx + \int_{\gamma_{0}}^{+\infty} a(x)e^{i \lambda x}dx~ :=I_{1}~+~I_{2}.
$$ Pour $\varepsilon>0$, on pend $\gamma_{0}$ tel que $I_{2}\leq\varepsilon$ puis on montre que pour tous les $\gamma$ proches de $\gamma_{0}$ on a $I_{1}\leq\varepsilon$
Ma question.
Il me semble que l'auteur suggère qu'il existe une façon beaucoup plus rapide de montrer la continuité de cette intégrale à paramètres, mais je comprends qu'il n'est pas possible d'utiliser le théorème de continuité par domination car l'intégrale est semi-convergente. Comment l'auteur fait-il pour montrer cette continuité rapidement qui "semble" évidente svp ?
Merci par avance.
Dans mon livre, il est écrit p 99 "on déduit du théorème d'Abel que $F$ est définie et continue pour $\lambda\ne 0$
J'arrive à montrer la continuité de cette intégrale à paramètres $F$ en coupant l'intégrale en 2 parties.
$$ F(\lambda)=\int_{0}^{\gamma_{0}} a(x)e^{i \lambda x}dx + \int_{\gamma_{0}}^{+\infty} a(x)e^{i \lambda x}dx~ :=I_{1}~+~I_{2}.
$$ Pour $\varepsilon>0$, on pend $\gamma_{0}$ tel que $I_{2}\leq\varepsilon$ puis on montre que pour tous les $\gamma$ proches de $\gamma_{0}$ on a $I_{1}\leq\varepsilon$
Ma question.
Il me semble que l'auteur suggère qu'il existe une façon beaucoup plus rapide de montrer la continuité de cette intégrale à paramètres, mais je comprends qu'il n'est pas possible d'utiliser le théorème de continuité par domination car l'intégrale est semi-convergente. Comment l'auteur fait-il pour montrer cette continuité rapidement qui "semble" évidente svp ?
Merci par avance.
Réponses
-
La majoration d'Abel permet de voir que le critère de Cauchy pour la continuité est vérifié : $$\left|\int_{\alpha}^{+\infty} a(x)\left(e^{i\lambda x} - e^{i \mu x}\right) \,\mathrm{d}x\right| \leq 2a(\alpha)\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\mu}\right).$$
-
Ah oui ! Super merci beaucoup pour la réponse Poirot.
A+
Nicolas
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres