À propos de $\mathscr{L}_c(E,F)$

cuba
cuba
dans Analyse
Bonjour,

On sait que si $F$ est un Banach, alors $\mathscr{L}_c(E,F)$ également.

Qu'en est-il de la réciproque ?

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    En l'absence d'axiome du choix, il existe des EVN de dimension infinie dont le dual est réduit à l'espace nul (par exemple $\ell^{\infty}/c_0$), donc est complet. Sauf erreur, ça implique que l'espace des fonctions continues d'un tel espace vers $\mathbb R[X]$ est complet, bien que $\mathbb R[X]$ ne le soit pas.
  • cuba
    cuba
    Ah oui ça n'est pas élémentaire !

    Que désigne $\mathscr{l}^\infty/c_0$ ?

    Merci encore Poirot.
  • gebrane
    gebrane
    Sans se compliquer la vie prendre $E=\{0\}$ et tu as le choix des F non complet
    Le 😄 Farceur


  • Namiswan
    Namiswan
    Avec axiome du choix par contre c'est ok: tu fixes $\phi$ non nul dans $E'$, et pour $y$ dans $F$ tu définis $f_y$ dans $L(E,F)$ par $f_y(x)=\phi(x)y$. L'injection $y\mapsto f_y$ permet d'identifier $F$ à un sous espace fermé de $L(E,F)$, il est donc complet.

    EDIT après avoir vu le post de Gebrane: il faut effectivement supposer $E\not=\{0\}$...
  • gebrane
    gebrane
    Je crois en la réciproque si E n'est pas réduit à 0
    Soit $x_n$ une suite de Cauchy dans F et $f$ dans $\mathscr{L}_c(E,F)$ ( non identiquement nulle. On définit $T_n$ de E$\to$ F par $T_n(x)=f(x).x_n$. On conclut la convergence de la suite $x_n$ par $\|T_n-T_m\|=\|f \| \|x_n-x_m\|$
    Le 😄 Farceur


  • cuba
    cuba
    Merci à tous. J'ai de quoi réfléchir !
  • Poirot
    Poirot
    @cuba : $\ell^{\infty}$ j'imagine que tu le connais, c'est l'espace des suites (réelles ou complexes, peu importe) et $c_0$ est le sous-espace des suites convergeant vers $0$. $\ell^{\infty}/c_0$ est simplement l'espace quotient du premier par le second.
  • MrJ
    MrJ
    Les messages de Poirot et de gebrane ne sont-ils pas contradictoires? A moins que j’ai loupé quelque chose...
  • Poirot
    Poirot
    @MrJ : Tu as loupé le fait que l'existence du $f$ de gebrane, comme celui du $\phi$ de Namiswan, est en général conséquence de l'axiome du choix.
  • MrJ
    MrJ
    Merci ! Ils ont en effet utilisé l'existence d'un élément non nul dans le dual topologique.
  • gebrane
    gebrane
    En analyse fonctionnelle, l'axiome du choix est supposé d'office sinon bay bay le lemme de Zorn et par suite les théorèmes qui s'y collent ... Hahn Banach et compagnies
    Le 😄 Farceur


  • Poirot
    Poirot
    NB : Le théorème de Hahn-Banach est strictement plus faible que l'axiome du choix. L'existence d'éléments non nul du dual d'un EVN de dimension infinie ne nécessite que Hahn-Banach. Je ne sais pas si ça lui est logiquement équivalent au-dessus de $\mathsf{ZF}$.
  • gebrane
    gebrane
    Il nous faut cc :-D
    Le 😄 Farceur


  • cuba
    cuba
    Oui Poirot, c'est bon (pour $\mathscr{l}^\infty/c_0$).

    Encore merci.
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