Théoreme d'Ascoli
dans Analyse
Bonjour,
je travaille le théorème d'Ascoli dans Éléments d'analyse fonctionnelle de Hirsch Lacombe et j'ai une question sur la preuve. Voici un lemme introduisant le théorème.
Je ne comprends pas pourquoi il suffit de montrer que la suite est de Cauchy...
Voici ce que je comprends. Si on montre que la suite est de Cauchy, par complétude de $C(X)$, on montre qu'elle converge et que sa limite est dans l'espace $C(X)$. Mais comment cela prouve-t-il qu'il y a convergence uniforme ?
La convergence uniforme préserve la continuité, mais ceci n'est pas réciproque si ?
Merci de votre attention,
Thibault
je travaille le théorème d'Ascoli dans Éléments d'analyse fonctionnelle de Hirsch Lacombe et j'ai une question sur la preuve. Voici un lemme introduisant le théorème.
Je ne comprends pas pourquoi il suffit de montrer que la suite est de Cauchy...
Voici ce que je comprends. Si on montre que la suite est de Cauchy, par complétude de $C(X)$, on montre qu'elle converge et que sa limite est dans l'espace $C(X)$. Mais comment cela prouve-t-il qu'il y a convergence uniforme ?
La convergence uniforme préserve la continuité, mais ceci n'est pas réciproque si ?
Merci de votre attention,
Thibault
Réponses
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Le problème vient de ta définition de la convergence. Dire qu'une suite d'éléments de $C(X)$ converge n'a que un sens si on fixe une norme (ou plus généralement une distance) sur l'espace $C(X)$.
Dans le contexte ci-dessus, quelle est la norme utilisée sur l'espace $C(X)$? -
Il s'agit simplement de comprendre ce que veut dire "converger dans $C(X)$". C'est précisément la convergence uniforme sur $X$. Quand on dit que $C(X)$ est complet, c'est pour la norme uniforme !
-
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