Noyau et image

mlb
mlb
dans Analyse
Bonjour,
J'éprouve des difficultés avec l'exercice suivant.

Soit $E=C^0([0,1])$ et $\Phi$ l'application qui à toute $f$ de $E$ associe $g$ telle que $\forall x\in[0,1]$, $g(x)=f(x)-2x\int_0^1f(t)dt$.

Je pense avoir montré que $\Phi$ est linéaire et $\ker\Phi=\{x\mapsto ax\mid a\in \mathbb{R}\}$ mais je ne vois pas comment déterminer $Im(\Phi)$.
Quelqu'un peut-il m'aider ? Par avance, merci.

Réponses

  • math2
    math2
    Voici ce que ça m'inspire, à vérifier :

    ce qui est embêtant, c'est la présence de l'intégrale.

    On peut s'en débarasser en constatant que si $g$ est dans l'image, on a forcément la valeur de son intégrale sur $[0;1]$. Une fois cette condition obtenue, tu devrais trouver un antécédent simple de $g$ par $\Phi$ (ex post, du constateras que l'intégrale ne t'embête plus).

    Bel exercice !
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Que vaut $f(x)-g(x)$?

    PS:
    Je ne suis pas sûr que cela avance beaucoup finalement, désolé.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Si on nomme l'application considérée $L$ alors on a que $f-L(f)$ est dans le noyau de $L$ donc, il me semble que l'image de $L$ est l'ensemble des fonctions $f$ continues sur $[0;1]$ telles que $f=h+"x\rightarrow ax"$ avec $h$ une fonction continue sur $[0;1]$ quelconque et $a$ un réel quelconque.

    PS:
    Ce que je suis entrain de dire, me semble-t-il, c'est que l'image de $L$ serait donc l'ensemble de toutes les fonctions continues sur $[0;1]$. B-)- (je suis dubitatif)

    PS2:
    Je comprends le problème. Le $a$ est dépendant de $f$ je n'ai fait que retraduire le problème sans le résoudre. :-D
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Je suis convaincu que l'image est l'ensemble des fonctions continues sur $[0;1]$.

    Déterminer $a$ de telle façon que l'image de la fonction définie sur $[0;1]$ par $h(x)=f(x)-ax$ soit $f$ (si c'est possible)

    Cela ne peut pas marcher :(
  • nahar
    nahar
    Bonjour,
    Avec l'indication de math2, c'est fini non?
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Nahar:

    Je n'avais pas lu son message, j'essayais de le résoudre par moi-même.
    Ce que dit Math2 si je le comprends bien est que pour toute fonction $f$ continue sur $[0;1]$ on a:

    $\Phi(\Phi(f))=\Phi(f)$.
  • nahar
    nahar
    Oui, en gros, après avoir trouvé la condition nécessaire, comme c'est indiqué.
  • mlb
    mlb
    Merci pour ta réponse math2 mais je ne vois pas comment poursuivre.
    Je trouve $\int_0^1f(t)dt=\frac{1}{2}(f(1)-g(1))$ par exemple.
  • math2
    math2
    Soit $g$ dans l'image de $\Phi$. Alors $g=\Phi(f)$ pour un certain $f$. On calcule alors
    $\int_0^1 g(x)dx=\int_0^1 (f(x)-2x\int_0^1 f)=0$

    Réciproquement, si $g$ est d'intégrale nulle sur $[0;1]$, on a $\Phi(g)=g$ donc $g$ est bien dans l'image.
  • mlb
    mlb
    Merci beaucoup c'est très clair
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