Solution d'une inégalité

laudprim
laudprim
dans Analyse
Bonjour.

Soit la fonction à deux variables $\quad f(x,y)=(x+y)(1-y^{2}),$ où $x,y <1$.
On cherche les valeurs de $x$ et $y$ pour que $1<f$.

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Je pense un logiciel graphique peut aider à voir les choses
    Le 😄 Farceur


  • Fin de partie
    Fin de partie
    On peut considérer la fonction $F(x)=f(x,y)$ et étudier les variations de cette fonction en fonction de $y$
    Par exemple, sauf erreur, pour $y\in [-1;1]$, la fonction $F$ est croissante.
  • math2
    math2
    Je commencerais par tracer la frontière d'équation $f(x,y)=1$. Il est plus facile de regarder $x$ en fonction de $y$. L'étude de fonction me semble possible cependant cela fait apparaître des racines d'une équation de degré 4 (que l'on peut calculer numériquement ou bien exactement). Une fois ce graphe tracé, on obtient celui avec $x$ en abscisse et $y$ en ordonnée par une symétrie par rapport à la première bissectrice. Pour ton domaine ensuite, il faudra prendre garde à la situation selon que $y$ soit entre $-1$ et $1$ ou à l'extérieur, car mon étude de fonction m'a amené à diviser par ce terme, ce qui change les inégalités lorsque $1-y^2<0$. J'avoue que je me suis arrêté à l'équation de degré 4.
  • P.
    P.
    Le graphe de la fonction $$x=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1-y}\right)-y$$ s'etudie facilement: une asymptote oblique et deux asymptotes verticales. On efface ensuite les parties de la courbe $x>1$ et $y>1.$ Ce qui reste partage le quart de plan $x,y\leq 1$ en trois ou quatre regions, et tu decides du signe dans chacune d'elles.
  • gebrane
    gebrane
    Je crois qu'un humain ne peut pas résoudre ce problème, seule la machine peut le faire. Voir ce résultat inhumain de wolfram https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+(x+y)(1-y^2)>1+;+x<1,y+<1
    Le 😄 Farceur


  • laudprim
    laudprim
    Merci les gars.
    Très intéressantes comme idées.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonjour gebrane

    je dirais que la solution de wolfram que tu suggères est monstrueuse et inhumaine

    celle que notre ami P propose est certainement plus humaine et plus intelligente

    Cordialement
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Géogébra trace immédiatement la courbe d'équation $f(x,y)=(x+y)(1-y^2)-1=0$.
    Cette courbe partitionne le plan en diverses régions.
    Ensuite, on constate que l'origine $O(0,0)$ n'est pas solution donc la région $(R)$ la contenant non plus.
    Pour des questions de parité du nombre de traversées de frontières, la solution est alors le complémentaire de $(R)$ dans le plan.

    Cordialement,

    Rescassol

    PS: Je ne sais malheureusement pas hachurer avec Géogébra.120026
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