Une somme !

Quentino37
Quentino37
dans Analyse
Bonjour, la valeur de la somme suivante est-elle connue ?
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{n}}.
\] Merci d'avance !
Je suis donc je pense 

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    bonjour
    C'est la même chose que $\int _0^{1}x^{-x}dx$
    Le 😄 Farceur


  • marsup
    marsup
    Tiens, et je me faisais la remarque l'autre jour que la suite de fonctions définie par $f_{k}: t\mapsto \frac{t^k}{k!} \cdot \text{e}^{-t}$ vérifie la propriété pour $n\in\N$ et $x\in\R$ :
    $$
    \sum_{k=0}^n f_k(x) + \int_{0}^x f_n(t) dt = 1.$$
  • Quentino37
    Quentino37
    gébrane: comment on démontre ça? (que l'intégrale de 0 à 1 est égale à la somme)
    Je suis donc je pense 
  • gebrane
    gebrane
    faire un essai c'est plus instructif
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    De mémoire on a un échange $\Sigma$ avec $\int$.
    La puissance passe à l’écriture avec exponentielle, puis on exprime l’exponentielle avec sa définition en série.

    Bon, il faut justifier tout ça...
  • Quentino37
    Quentino37
    Dom: je vais tenter ça
    Je suis donc je pense 
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Quentino37:

    $\displaystyle x^{-x}=\text{e}^{-x\ln x}$ et tu développes en série entière l'exponentielle. Par ailleurs, on a une formule pour les intégrales $\displaystyle \int_0^1 x^n\ln x dx$ avec $n$ un entier naturel.
  • Quentino37
    Quentino37
    J'arrive à ça :
    \[\int_{0}^{1}1-x\ln(x)+\frac{x^{2}\ln(x)^{2}}{2!}-\cdots+\frac{(-x)^{n}\ln(x)^{n}}{n!}+\ldots dx\]

    [$\LaTeX$ fournit la commande \ln ($\backslash\ell n$) pour la fonction logarithme. AD]
    [merci AD]
    Je suis donc je pense 
  • Quentino37
    Quentino37
    Je fais quoi après ?
    Je suis donc je pense 
  • Quentino37
    Quentino37
    en posant $u=\ln(x)$ on obtient des choses...
    Je suis donc je pense 
  • Quentino37
    Quentino37
    si je ne me trompe pas on à que l'intégrale de 0 à 1 est égale à: \[\int_{0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{e^{-ku}u^{k+1}}{k!}du\]
    Je suis donc je pense 
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Si tu veux le faire comme ça:

    1) tu intervertis l'ordre intégrale/somme (comme déjà mentionné par Dom plus haut)
    2) Tu fais le changement de variable $x=ku$.
    3) Tu te renseignes sur la fonction Gamma. B-)-
  • Quentino37
    Quentino37
    je ne me suis donc pas trompé? X:-(
    Merci Fin de partie :)
    Je suis donc je pense 
  • Quentino37
    Quentino37
    J'arrive à ça \[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}(k+1)}{k^{k}}\] mais...
    \[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}(k+1)}{k^{k}}=???=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{k}}.
    \] Me suis-je trompé ?
    Je suis donc je pense 
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Quentino37: je pense que lorsque tu as fait le changement de variable $u=-\log(x)$ tu as oublié le facteur différentiel.

    $dx=-\text{e}^{-u}du$
  • Quentino37
    Quentino37
    Ah oui !!! merci Fin de partie :-D (tu es trop fort).
    Je suis donc je pense 
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