Bifurcation par doublement de la période
dans Analyse
Bonjour
J'ai la suivante définition de bifurcation par doublement de période.
Définition. Une famille de fonctions $\left\{{ F_{\lambda} }\right\}$ subit une bifurcation par doublement de période à la valeur du paramètre $\lambda=\lambda_{0}$ s’il existe un intervalle ouvert $I$ et un $ \epsilon >0$ tel que
1. Pour chaque $\lambda \in [\lambda_{0}-\epsilon,\lambda_{0}+\epsilon]$, il existe un unique point fixe $p_{\lambda}$ pour $F_{\lambda}$ dans $I$.
2. Pour $\lambda \in\, ]\lambda_{0}-\epsilon, \lambda_{0}[$ $F_{ \lambda }$ n’a pas de cycles de période $2$ dans $I$ et $p_{ \lambda}$ est attractif (resp. répulsif).
3. Pour $\lambda \in\, ]\lambda_{0},\lambda_{0}+\epsilon[$, il existe un unique cycle de période $2$, $q_{\lambda}^1,q_{\lambda}^2$ dans $I$ avec $F_{\lambda}(q_{\lambda}^1)=q_{\lambda}^2$. Ce cycle est attractif (resp. répulsif). Cependant, le point fixe $p_{\lambda}$ est répulsif (resp. attractif).
4. Si $\lambda \rightarrow \lambda_{0}$, on a que $q_{\lambda}^i \rightarrow p_{\lambda_{0}}$.
Si les conditions ci-dessus sont valides avec le symbole $>$ au lieu de $<$, nous disons également que la famille a une bifurcation par doublement de période.
Bien qu’il s’agisse certainement d’une définition compliquée, il existe des exemples simples de ce genre de bifurcation. Par exemple, la famille $F_{c}(x)=x^2+c$ a une bifurcation par doublement de période à $c=-3/4$, auquel cas, on peut prendre $\epsilon=1$ et $I=]\infty,-1/2[$.
Je suis intéressé à prouver que si la famille $F_{\lambda}$ a une bifurcation par doublement de période à $\lambda=\lambda_{0}$, alors $F_{\lambda_{0}}'(p_{\lambda_{0}})=-1$.
Pouvez-vous me donner aucune suggestion, s’il vous plaît ?
Merci d'avance.
[Ne pas confondre couple et intervalle ouvert ! AD]
J'ai la suivante définition de bifurcation par doublement de période.
Définition. Une famille de fonctions $\left\{{ F_{\lambda} }\right\}$ subit une bifurcation par doublement de période à la valeur du paramètre $\lambda=\lambda_{0}$ s’il existe un intervalle ouvert $I$ et un $ \epsilon >0$ tel que
1. Pour chaque $\lambda \in [\lambda_{0}-\epsilon,\lambda_{0}+\epsilon]$, il existe un unique point fixe $p_{\lambda}$ pour $F_{\lambda}$ dans $I$.
2. Pour $\lambda \in\, ]\lambda_{0}-\epsilon, \lambda_{0}[$ $F_{ \lambda }$ n’a pas de cycles de période $2$ dans $I$ et $p_{ \lambda}$ est attractif (resp. répulsif).
3. Pour $\lambda \in\, ]\lambda_{0},\lambda_{0}+\epsilon[$, il existe un unique cycle de période $2$, $q_{\lambda}^1,q_{\lambda}^2$ dans $I$ avec $F_{\lambda}(q_{\lambda}^1)=q_{\lambda}^2$. Ce cycle est attractif (resp. répulsif). Cependant, le point fixe $p_{\lambda}$ est répulsif (resp. attractif).
4. Si $\lambda \rightarrow \lambda_{0}$, on a que $q_{\lambda}^i \rightarrow p_{\lambda_{0}}$.
Si les conditions ci-dessus sont valides avec le symbole $>$ au lieu de $<$, nous disons également que la famille a une bifurcation par doublement de période.
Bien qu’il s’agisse certainement d’une définition compliquée, il existe des exemples simples de ce genre de bifurcation. Par exemple, la famille $F_{c}(x)=x^2+c$ a une bifurcation par doublement de période à $c=-3/4$, auquel cas, on peut prendre $\epsilon=1$ et $I=]\infty,-1/2[$.
Je suis intéressé à prouver que si la famille $F_{\lambda}$ a une bifurcation par doublement de période à $\lambda=\lambda_{0}$, alors $F_{\lambda_{0}}'(p_{\lambda_{0}})=-1$.
Pouvez-vous me donner aucune suggestion, s’il vous plaît ?
Merci d'avance.
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Réponses
Merci pour ta réponse Namiswan(ça me rappelle One Piece), s’il vous plaît excusez mon ignorance, mais pourquoi si $F_{\lambda}$ est croissante, alors ne peut pas avoir un cycle de période 2? Je ne vois pas ce fait très clair:(.
D'un autre côté, j'ai oublié d'écrire ma tentative:
Au vu de $4$, on a que $g(x):=(F_{\lambda_{0}} \circ F_{\lambda_{0}}) (x)-x $ a une racine triple à $p_{\lambda_{0}}$, donc $g''(p_{\lambda_{0}} )=0$. D’où, on a que
$$
F_{\lambda_{0}}''(p_{\lambda_{0}})(F_{\lambda_{0}}'(p_{\lambda_{0}})+1)=0
$$
Donc, si je pouvais prouver que $F_{\lambda_{0}}''(p_{\lambda_{0}}) \neq 0$ j'aurait fini, mais je n’ai pas pu le faire non plus .
Si $F_\lambda$ a un point double dans un intervalle , disons $F_\lambda(a)=b$ et $F_\lambda(b)=a$ avec $a\not=b$, alors si par exemple $a<b$ et bien $F_\lambda(a)>F_\lambda(b)$, donc $F_\lambda$ n'est pas croissante sur l'intervalle.
Ca me semble difficile de faire conclure ta méthode, effectivement à cause du problème que tu as soulevé..