Si $t,x\in [0,\pi/2]$, on peut démontrer ton inégalité. en utilisant la concavité de $f(x)=\ln(\sin(t))$ sur $]0,\pi[$
La formule est équivalente à prouver que
$$\ln(\sin(t+x\sin t)-\ln(\sin t)\leq x\cos t$$
( ton inégalité est trivialement vraie pour t=0 ou t=$\pi /2$) On a par concavité sur $]0,\pi[$ $f(t+a)-f(t)\leq af'[t)$ si $t,a\in ]0,\pi/2[$.
on prend $a=x\sin t$ d'ou
$f(t+x\sin t)-f(t)\leq af'[t)=x\sin t \frac{\cos t}{\sin t}=x\cos t$
Une idée comme ça: on pose $u=\sin t$ et on a:
\begin{align}(\sin t) \text{e}^{x\cos t}-\sin (t+x \sin t)&=u\text{e}^{x\sqrt{1-u^2}}-\sin (\arcsin(u)+ux)\\
&=u\text{e}^{x\sqrt{1-u^2}}-u\cos(ux)-\sqrt{1-u^2}\sin(ux)\end{align}
Cela a l'air de marcher.
Sauf erreur, on a pour $v\geq 0$,
\begin{align} \text{e}^v&\geq 1+v\\
&\cos v\leq 1\\
&\sin v\leq v\\
\end{align} Donc :
$u\text{e}^{x\sqrt{1-u^2}}-u\cos(ux)-\sqrt{1-u^2}\sin(ux)\geq u\left(1+x\sqrt{1-u^2}\right)-u-ux\sqrt{1-u^2}=0.$
En espérant qu'il n'y a pas d'erreur (car c'est trop beau pour être vrai).
Gebrane: D'autant plus que c'est la première idée qui m'est venue (un coup de chance !) B-)-
Je soupçonne néanmoins que ma solution est trop compliquée: qu'est-ce qui empêche d'essayer de minorer sans faire le changement de variable que j'ai fait?
Je te le confirme.
Pour ma part j'ai aussi utilisé les inégalités sur exp et sin mais avant j'ai développé le sinus avec $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b \cos a$
Réponses
La formule est équivalente à prouver que
$$\ln(\sin(t+x\sin t)-\ln(\sin t)\leq x\cos t$$
( ton inégalité est trivialement vraie pour t=0 ou t=$\pi /2$) On a par concavité sur $]0,\pi[$ $f(t+a)-f(t)\leq af'[t)$ si $t,a\in ]0,\pi/2[$.
on prend $a=x\sin t$ d'ou
$f(t+x\sin t)-f(t)\leq af'[t)=x\sin t \frac{\cos t}{\sin t}=x\cos t$
\begin{align}(\sin t) \text{e}^{x\cos t}-\sin (t+x \sin t)&=u\text{e}^{x\sqrt{1-u^2}}-\sin (\arcsin(u)+ux)\\
&=u\text{e}^{x\sqrt{1-u^2}}-u\cos(ux)-\sqrt{1-u^2}\sin(ux)\end{align}
Sauf erreur, on a pour $v\geq 0$,
\begin{align} \text{e}^v&\geq 1+v\\
&\cos v\leq 1\\
&\sin v\leq v\\
\end{align} Donc :
$u\text{e}^{x\sqrt{1-u^2}}-u\cos(ux)-\sqrt{1-u^2}\sin(ux)\geq u\left(1+x\sqrt{1-u^2}\right)-u-ux\sqrt{1-u^2}=0.$
En espérant qu'il n'y a pas d'erreur (car c'est trop beau pour être vrai).
Je soupçonne néanmoins que ma solution est trop compliquée: qu'est-ce qui empêche d'essayer de minorer sans faire le changement de variable que j'ai fait?
Pour ma part j'ai aussi utilisé les inégalités sur exp et sin mais avant j'ai développé le sinus avec $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b \cos a$
2) Comme dit, cette inegalite n'est pas une chose artificielle dont on fabriquerait des soeurs a l'infini, mais dont j'avais besoin pour un texte.