Limite d'une fonction
Bonjour. Je souhaite trouver la limite en $0$, si elle existe de $$f(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\tan^2(x)}.
$$ J'utilise les équivalents : $\frac{1}{\tan^2(x)}$ est équivalent au voisinage de $0$ à $\frac{1}{x^2}$ donc $f(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2} -\omicron(\frac{1}{x^2})$ donc $f(x)=-\omicron(\frac{1}{x^2})$.
Et c'est ici que je ne sais pas quoi conclure : $f$ n'a pas de limite ? Les équivalents ne permettent pas pas de trouver la limite recherchée et il faut utiliser les développements limités ? Ou on peut déterminer la limite de $f$ et j'ai mal compris la notion de fonctions négligeables ?
Si quelqu'un pouvait m'éclairer ?
$$ J'utilise les équivalents : $\frac{1}{\tan^2(x)}$ est équivalent au voisinage de $0$ à $\frac{1}{x^2}$ donc $f(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2} -\omicron(\frac{1}{x^2})$ donc $f(x)=-\omicron(\frac{1}{x^2})$.
Et c'est ici que je ne sais pas quoi conclure : $f$ n'a pas de limite ? Les équivalents ne permettent pas pas de trouver la limite recherchée et il faut utiliser les développements limités ? Ou on peut déterminer la limite de $f$ et j'ai mal compris la notion de fonctions négligeables ?
Si quelqu'un pouvait m'éclairer ?
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Réponses
Sais-tu justifier proprement ton premier « donc » ?
En gros pourquoi « on peut remplacer par l’équivalent qu’on veut » ?
Le deuxième « donc », je comprends.
Et en effet, on ne peut pas conclure.
Tu peux essayer de faire un DL du numérateur. Le dénominateur est équivalent à $x^4$ car $\tan(x) \sim x$
Donc $\tan(x)=\tan(0)+x+x^3 /3 + o(x^3)$
Ok OShine pour le DL, il n'était pas très compliqué et la limite recherchée vaut $\frac{2}{3}$.
En fait, c'est la remarque de Poirot que je n'ai pas comprise : Pourquoi le calcul d'équivalent n'aboutit pas et en quoi faire un DL à un ordre supérieur permet-il de "débloquer" les calculs de limite ? Et finalement augmenter l'ordre d'un DL c'est juste augmenter la précision avec laquelle on approxime notre fonction ? Ce sont plus ces questions qui me gênent dans l'analyse asymptotique que le "côté pratique" ..
Merci pour vos réponses, même si mes questions sont sûrement bêtes, cela m'aide beaucoup
le mieux est d'utiliser le développement à 2 termes de tan(x) soit pour tan²(x) le développement $x^2 - 2\frac{x^4}{3} + x^6$
et donc la limite en zéro de $f(x) = \dfrac{\tan^2(x) - x^2}{x^2\tan^2(x)}$ est égale à la limite en zéro de $\ \dfrac{-\frac{2x^4}{3} + x^6}{x^4}.$
Soit $-\dfrac{2}{3}$.
Cordialement.
Ok merci pour ta réponse Poirot. Et finalement, existe-t-il un moyen de connaître l’ordre nécessaire pour faire le DL d’une fonction ou faut-il toujours y aller à tâtons ?
avec les équivalents en 0 : $f(x)=\frac{1}{6x^4}+\omicron(\frac{1}{x^4})$ . Tous les termes ne se compensent pas donc on peut obtenir la limite et $\lim\limits_{x \rightarrow 0^{\pm}} f(x)=\pm\infty$ ? Ou encore une fois il est nécessaire de "passer" à l'ordre supérieur ? Et peut-on savoir directement l'ordre nécessaire pour le DL ?
Remarquons que au voisinage de $0$ on a : $\sin(x)=x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{5!}+o(x^5)$
Ainsi $\sin(x)-x+\dfrac{x^3}{6}= \dfrac{x^5}{5!}+o(x^5)$ ainsi $\sin(x)-x+\dfrac{x^3}{6} \sim \dfrac{x^5}{120}$
On en déduit par quotient d'équivalents $\boxed{\dfrac{\sin(x)-x+\dfrac{x^3}{6}}{x^5} \sim \dfrac{x^5}{120 x^5} \sim \dfrac{1}{120}}$
dès qu'on obtient des équivalents ou même un DL avec des fonctions négligeables, il est nécessaire de passer à un ordre supérieur ? Mais ici avec la réponse de OShine je pense que la réponse à ma question est oui..
Merci pour vos réponses.
\tan'x&=1+\Bigl(x+\frac{x^3}3+o(x^3)\Bigr)^2\\&=1+x^2+\frac{2}3x^4+o(x^4)\\
&\text{ce qui donne}\\
\tan x&=x+\frac{1}3x^3+\frac{2}{15}x^5+o(x^5),\end{align*} etc.
Les DL c'est de la pratique, on s'adapte à la situation.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Très bien cette méthode pour le DL de tangente.