Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
dans Analyse
Bonjour
Quelle est la forme intégrale de $\dfrac{1}{\Gamma (n)^{2}}$ ?
Merci d'avance !
J'ai fait une faute dans le titre !!! Comment fait-on pour changer le titre ?
[Lors de la modification de ton premier message, tu peux modifier le titre de la discussion. AD]
Merci encore AD !
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Je suis donc je pense
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Réponses
tu sais que $\Gamma(1+n) = n!$ (factorielle de n entier naturel) et $\Gamma(n) = (n-1)!$ avec n > 1
tu souhaites une intégrale paramétrée en n dont le résultat soit égal à $\frac{1}{((n-1)!)^2}$
cela existe sûrement, je n'en connais pas.
Cordialement
A vérifier : $\displaystyle {1\over n!}={1\over 2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} e^{-i n t} e^{e^{i t}} dt$...
$$\frac{1}{\Gamma(n)^2} = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{(n-1)!^2}.$$
Par exemple, lorsque rien n'est indiqué, on attribue d'office les variables aux ensembles suivants :
$p$ : nombre premier ;
$k,m,n$ entiers ;
$x,y$ : réels ;
$z,s,w$ : complexes ;
$\varepsilon$ : réel petit (i.e. qui tend vers $0$) de l'intervalle $\left]0,1 \right[$.
En ne donnant aucune information sur ton $n$, l'ensemble des intervenants l'a donc pris pour un entier naturel non nul et donc $\frac{1}{\Gamma(n)^2} = \frac{1}{((n-1)!)^2}$ et ta question devient sans intérêt.
Allons donc un cran plus loin : tu veux une forme intégrale pour $\Gamma(x)^2$ avec $x > 0$ réel. À l'aide de la fonction Bêta, on voit quasiment immédiatement que, pour tout $x > 0$ réel, on a
$$\Gamma(x)^2= \Gamma(2x) \int_0^1 (t-t^2)^{x-1} \, \textrm{d}t.$$
Ça te va ?
\begin{align*}
B(x, y)&=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)},&&\text{donc} \\
B(x, x)&=\frac{\Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)},&& \text{ce qui implique} \\
\Gamma (x)^{2}&=\Gamma (2x)B(x, x),\\
\Gamma (x)^{2}&=\Gamma (2x)\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{x-1}dt,&&\text{et on à donc} \\
\Gamma (x)^{2}&=\Gamma (2x)\int_{0}^{1}(t-t^{2})^{x-1}dt.
\end{align*} et c'est prouvé ! :-)
Merci Jandri
Pour revenir à ce sujet, il n'y a pas à ma connaissance de formule telle que tu le demandes, mais que ce soit $\Gamma^2$ ou $1/\Gamma^2$, ça n'a pas beaucoup d'importance. Par exemple, c'est à partir de la définition classique de $\Gamma$ sous forme d'intégrale que l'on déduit l'identité de Hankel concernant la fonction $1/\Gamma$, qui est aussi une identité utilisant une intégrale.
Enfin, puisque tu sembles apprécier ces formules, en voilà une due à Ramanujan : pour tout entier $n$ et tout réel $x>0$
$$\frac{1}{\Gamma(n)^2} = \Gamma(n+xi)^{-1} \Gamma(n-xi)^{-1} \prod_{k=1}^{\infty} \left( 1+\frac{x^2}{(n-1+k)^2} \right)^{-1}.$$
jandri: merci