Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$
dans Analyse
Bonjour
Quelle est la forme intégrale de $\dfrac{1}{\Gamma (n)^{2}}$ ?
Merci d'avance !
J'ai fait une faute dans le titre !!! Comment fait-on pour changer le titre ?
[Lors de la modification de ton premier message, tu peux modifier le titre de la discussion. AD]
Merci encore AD !
Quelle est la forme intégrale de $\dfrac{1}{\Gamma (n)^{2}}$ ?
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Je suis donc je pense
Réponses
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Bonjour
tu sais que $\Gamma(1+n) = n!$ (factorielle de n entier naturel) et $\Gamma(n) = (n-1)!$ avec n > 1
tu souhaites une intégrale paramétrée en n dont le résultat soit égal à $\frac{1}{((n-1)!)^2}$
cela existe sûrement, je n'en connais pas.
Cordialement -
merci beaucoup!Je suis donc je pense
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Bonjour,
A vérifier : $\displaystyle {1\over n!}={1\over 2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} e^{-i n t} e^{e^{i t}} dt$... -
merci Yves! (il n'existerait donc aucune formes intégrales de 1/(n-1)!² ?)Je suis donc je pense
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En voici une parmi une infinité :
$$\frac{1}{\Gamma(n)^2} = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{(n-1)!^2}.$$ -
heu... Il y à pas un petit problème avec la factorielle?Je suis donc je pense
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Plaît-il ?
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Quand n n'est pas entier! Et puis... $x=\int_{0}^{1}xdx$ :-D. Existe-t-il une intégrale qui marche mais qui n'utilise pas la factorielle ou la fonction gamma?(vous voyez ce que je veut dire par là, enfin je l'espère)Je suis donc je pense
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Hum, il faudrait peut-être commencer par étudier les intégrales. $\int_0^1 x \, dx$ ne vaut pas $x$ (la variable muette qui s'échappe ?).
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ah heu je voulait dire $x=\int_{0}^{1}xdt$Je suis donc je pense
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Moui, à condition de dire qui est $x$. ;-)
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On dirait Quentino37 pose une question pour le plaisir de poser uneLe 😄 Farceur
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heu... non pas du tout!Je suis donc je pense
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Quand, comme ici, les variables ne sont pas quantifiées, il est d'usage de leur donner intrinsèquement leurs domaines usuels de définition.
Par exemple, lorsque rien n'est indiqué, on attribue d'office les variables aux ensembles suivants :
$p$ : nombre premier ;
$k,m,n$ entiers ;
$x,y$ : réels ;
$z,s,w$ : complexes ;
$\varepsilon$ : réel petit (i.e. qui tend vers $0$) de l'intervalle $\left]0,1 \right[$.
En ne donnant aucune information sur ton $n$, l'ensemble des intervenants l'a donc pris pour un entier naturel non nul et donc $\frac{1}{\Gamma(n)^2} = \frac{1}{((n-1)!)^2}$ et ta question devient sans intérêt.
Allons donc un cran plus loin : tu veux une forme intégrale pour $\Gamma(x)^2$ avec $x > 0$ réel. À l'aide de la fonction Bêta, on voit quasiment immédiatement que, pour tout $x > 0$ réel, on a
$$\Gamma(x)^2= \Gamma(2x) \int_0^1 (t-t^2)^{x-1} \, \textrm{d}t.$$
Ça te va ? -
Merci noix de totos! Par contre c'est 1/gamma(x)² que l'on chercheJe suis donc je pense
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Il est en 4ème il ne comprend pas vos réponses.
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heu si je comprend les réponses(à 90%).
\begin{align*}
B(x, y)&=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)},&&\text{donc} \\
B(x, x)&=\frac{\Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)},&& \text{ce qui implique} \\
\Gamma (x)^{2}&=\Gamma (2x)B(x, x),\\
\Gamma (x)^{2}&=\Gamma (2x)\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{x-1}dt,&&\text{et on à donc} \\
\Gamma (x)^{2}&=\Gamma (2x)\int_{0}^{1}(t-t^{2})^{x-1}dt.
\end{align*} et c'est prouvé ! :-)Je suis donc je pense -
Pour avoir le coeur net, Quentino37 tu es en quelle classe?Le 😄 Farceur
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mais ce que je cherche c'est une intégrale(juste une intégrale avec aucune fonction devant) qui est égale à $\frac{1}{\Gamma(x)^{2} }$Je suis donc je pense
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Je suis en 4ème (désolé de ne pas avoir répondu dans le dernier message, j'étais en train d'écrire le message quand tu as envoyé le tien).Je suis donc je pense
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Ok et merci pour la réponse. Une question au niveau 4ème. Calculer $\sin (\pi/5) $ avec une méthode purement géométrique. Tu est un nouveau Terence Tao (tu)
Merci JandriLe 😄 Farceur -
merci pour la question, sinon, qu'est ce qu'est "Tao Hill"? :-)Je suis donc je pense
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Un surdoué précoceLe 😄 Farceur
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merciJe suis donc je pense
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C'est une bonne chose que des jeunes s'intéressent à des mathématiques difficiles. Mais il ne faut pas brûler les étapes, et bien respecter le B-A-BA que sont les quantifications de variables comme je le disais plus haut.
Pour revenir à ce sujet, il n'y a pas à ma connaissance de formule telle que tu le demandes, mais que ce soit $\Gamma^2$ ou $1/\Gamma^2$, ça n'a pas beaucoup d'importance. Par exemple, c'est à partir de la définition classique de $\Gamma$ sous forme d'intégrale que l'on déduit l'identité de Hankel concernant la fonction $1/\Gamma$, qui est aussi une identité utilisant une intégrale.
Enfin, puisque tu sembles apprécier ces formules, en voilà une due à Ramanujan : pour tout entier $n$ et tout réel $x>0$
$$\frac{1}{\Gamma(n)^2} = \Gamma(n+xi)^{-1} \Gamma(n-xi)^{-1} \prod_{k=1}^{\infty} \left( 1+\frac{x^2}{(n-1+k)^2} \right)^{-1}.$$ -
Je pense que gebrane a voulu parler de Terence Tao, médaille Fields en 2006 et enfant prodige : Terence Tao
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noix de totos: merci beaucoup
jandri: merci :-)Je suis donc je pense -
Quentino tu peux m'aider à résoudre le problème 3 du concours général si t'es si fort.
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je ne suis pas si fort que ça et je pense ne pas avoir le niveau mais je veux bien essayerJe suis donc je pense
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Bonjour!
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