Existence d'un point fixe

Il faut d'abord montrer que $f^n$ admet un point fixe $z$ (en utilisant l'inégalité plusieurs fois). Puis appliquer l'inégalité à $x=z$ et $y=$ un autre élément de $E$ bien choisi.

Soit $g=f^n$, alors, on a $d(g^m(s),g^m(t)) \leq k d(g^{m-1}(s), g^{m-1}(t))$, pour tout $m>0$.

La suite $u_0\in E,\ u_{m+1}=g^n(u_m)$ est de Cauchy... donc ?

Donc $f^{2n}$ et $f^n$ qui sont continues ont un point fixe commun uni...?

@math2 :

1/ C'est un choix auquel tu tiens de mettre une barre au dessus de $x$?

2/ N'importe quelle suite telle que $\forall n: u(n+1) = f(u(n))$ vers une limite qui est point fixe de $f$ car pour les $p$ qui sont grands, $u_p$ est l'image par $f^p$ de $u_{p-n}$ et car blablabla que tu trouveras seul.

3/ Tu écris l'idée pas facile à trouver est de penser à démontrer que. Tu as tellement raison que 1 matheux sur 10, j'imagine passerait par cette fulgurante inspiration pour plier l'exo. Du coup, heureusement qu'il est pliable autrement

Bonjour,

Soit $a$ le point fixe de $f^n.$

On a $f^n(a)=a.$

Donc $f(f^n(a))=f(a)=f^n(f(a)).$

Donc $f(a)$ est point fixe de $f^n.$

Par unité, $f(a)=a$.

Donc $a$ est point fixe de $f.$

Je ne montre pas si $f$ possède un unique point fixe.

Pour ta première question, il faut écrire $f^n\circ f = f^{n+1}=f\circ f^n$.

Pour ta seconde question, il faut que tu utilises que $a$ et $b$ sont des points fixes de $f$.

L'utilisation d'une limite me parait vraiment superflue (mais pas faux). Tu as l'inégalité
\[d(a,b)\leq k d(a,b)\quad \text{avec}\quad k<1.\]
Il est presque immédiat d'en déduire que $a=b$.

@cc :

je t'ai répondu en privé aux points 1 et 2.

Quant au point 3, heureusement qu'il a plusieurs pistes, mais sinon non seulement cette idée n'a rien de fulgurante, mais elle me semble relativement communément partagée.

D'une part lorsque j'avais eu cet exo en colle, c'est l'idée qui avait fini par me venir (après un temps de réflexion, mais avec le stress d'une interrogation) et je suis loin d'être particulièrement astucieux, c'est donc dire qu'elle n'a rien de fulgurante.

Ensuite, ma prof de spé [qui pour le coup avait "mal" traité l'extension au cas compact] l'avait aussi corrigé par cet argument, et le premier bouquin que je prend au hasard dans ma bibliothèque qui parle de cet exercice, le corrige ainsi en quatre lignes (Mathématiques L2 chez Pearson cor. 6.117 page 282).

Et pour te faire plaisir, j'en prends un deuxième : analyse pour la licence de J-P Marco (le deuxième qui me vient sous la main). Bah tiens, il en parle aussi (Proposition 4 page 66) et il procède exactement pareil.

Donc, en plus de ne pas être fulgurante, cette idée semble assez standard.



Au passage, suite à un autre message, l'unicité du point fixe de $f$ apparaît du fait que tout point fixe de $f$ en est aussi un de $f^p$, et il y a unicité pour la deuxième fonction

@math2: je voulais dire que, pour montrer le théorème du point fixe, il faut utiliser l'inégalité plusieurs fois, c'est-à-dire: $d(g^{m+p}(x),g^m(x)) \leq k d(g^{m+p-1}(x), g^{m-1}(x)) \leq \dots \leq k^m d(g^p(x),x) \leq k^m(k^{p-1}+\cdots +1)d(g(x),x)$, avec $g=f^n$.
Ensuite, si $z$ est un point fixe de $g=f^n$, on choisit $x=z$ et $y=f(z)$, dans l'inégalité.

Merci math2. Tu t'es décarcasse pour m'informer c'est très gentil. Je me suis donc trompé sur la réaction humaine face à cet exo.

$f^n$ a un unique point fixe (théorème du point fixe) donc $f$ aussi (et c'est le même). En effet, de $f^n=f\circ f\circ \cdots \circ f$ découle que tout point fixe de $f$ est un point fixe de $f^n$ et vu que $f^n$ n'en a qu'un...


@Dom relis le fil depuis le début...