Dérivabilité
dans Analyse
Bonjour,
est-il possible de montrer que cette fonction est C1, avec la seule hypothèse de continuité.
Merci prenez soin de vous S_U
PS : j'ai fait l'exercice sauf C1 ?
est-il possible de montrer que cette fonction est C1, avec la seule hypothèse de continuité.
Merci prenez soin de vous S_U
PS : j'ai fait l'exercice sauf C1 ?
Réponses
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Essayons :
Soient $t$ et $h$ deux réels.
$\displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}=...$
Édit : peut-être qu’une intégration est moins maladroite qu’un taux d’accroissement... -
Oui, il faut intégrer la relation convenablement pour exprimer $f$ avec une de ses primitives.
-
Oups, je redis le même truc que MrJ plus haut, mais en beaucoup plus détaillé, donc je mets en anti-divulgâchation :
Je crois que l'idée c'est de dire pour $I = \int_0^\alpha f(s) ds \neq 0$, que pour $F(t) = \int_0^t f(u) du$, on a $F(t+\alpha) - F(t) = I \cdot f(t)$, et comme ça on bootstrap, et $f$ est de classe $C^1$. -
re bonjour
merci tous pour vos réponses,evidemment mon taux d'accroissement oups:
S_U -
encore moi désolé;
si j"ai bien compris, dans ce cas la continuité suffit pour avoir C1
merci de vos aides
prenez soin de vous S_U -
Et peut-être même la continuité en un seul point.
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Une chose à la fois. Que Siméon-Urbain résolve son problème, et on verra ensuite les prolongements.
Pour le caractère $\mathcal C^1$, intégrer l'équation proposée par rapport à $t$, avec $s$ constant. -
...entre $0$ et $\alpha$.
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merci à tous
bonne journée
simeon -
Puisque le questionneur est satisfait, voici quelques réflexions.
On cherche les applications $f :\mathbb R \rightarrow \mathbb C$ telles que : $ \forall s \in \mathbb R , \forall t \in \mathbb R, f(s+t)=f(s)f(t)$.
On a : $f(0)=0$ ou bien $f(0)=1$.
Si $f(0)=0$, alors $f(t)=0$ pour tout $ t\in \mathbb R$. Si $f(0)=1$, alors $f(t) \in \mathbb C^*$ pour tout $ t\in \mathbb R$. Excluant la solution identiquement nulle, on se place dans ce dernier cas.
Si la fonction $f$ est continue en $0$, alors elle est continue partout, et si elle est continue en un point, alors elle est continue en $0$. On rejoint la remarque de Dom. On se place dans ce cas.
Pour tout $ x\in \mathbb R$, soit $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$. Il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $F(\alpha )\neq 0$.
Intégrant l'équation fonctionnelle proposée, il vient : $\int_{0}^{\alpha }f(s+t)dt=f(s)\int_{0}^{\alpha }f(t)dt$, et comme $\int_{0}^{\alpha }f(s+t)dt=\int_{s}^{s+\alpha }f(u)du$, on obtient : $f(s)=\frac 1{F(\alpha )}(F(s+\alpha )-F(s))$, pour tout $ s\in \mathbb R$. Ainsi, la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$.
C'est la méthode de renforcement des hypothèses, très efficace pour de nombreuses équations fonctionnelles, dont j'ai parlé récemment.
En fait on pourrait en déduire que cette fonction $f$ est ipso facto de classe $\mathcal{C}^{2}$, ..., $\mathcal{C}^{\infty}$. Ce pourrait être utile pour d'autres équations fonctionnelles, mais pas ici.
Dérivations de l'équation fonctionnelle proposée, par rapport à $s$ et par rapport à $t$, conduisent à : $f^{\prime }(s+t)=f^{\prime }(s)f(t)=f(s)f^{\prime }(t)$.
D'où : $f^{\prime }(t)=mf(t)$, avec $m=f^{\prime }(0)$. Équation différentielle linéaire scalaire du premier ordre, la plus simple qui soit.
Elle équivaut à : $e^{-mt}f^{\prime }(t)-me^{-mt}f(t)=0$, d'où : $e^{-mt}f(t)=C$, et $C=1$, soit enfin : $f(t)=e^{mt}$, $m \in \mathbb C$ .
Ceci acquis sous l'hypothèse que $f$ n'est pas la fonction nulle et qu'elle est continue en un point.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
12/04/2021 -
Poursuivons, camarades.
Peut-on poser des hypothèses plus faibles sur $f$ ?
Si l'on cherchait $f :\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ telle que : $ \forall s \in \mathbb R , \forall t \in \mathbb R, f(s+t)=f(s)f(t)$, non identiquement nulle, alors il suffirait de supposer que $f$ est bornée (ou majorée, ou minorée) sur $[-1,1]$ ou sur un autre segment, n'importe lequel. La fonction $f$ se retrouverait continue, et donc $f(t)=e^{mt}$, $m \in \mathbb R$.
Si l'on en revient à notre $f :\mathbb R \rightarrow \mathbb C$ telle que : $ \forall s \in \mathbb R , \forall t \in \mathbb R, f(s+t)=f(s)f(t)$, on peut voir que si elle est bornée sur $[-1,1]$, alors elle est bornée sur tout autre segment, et réciproquement.
Mais ceci ne suffit pas pour en déduire la continuité.
On sait qu'il existe de vilaines fonctions $\phi :\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ telles que : $ \forall s \in \mathbb R, \forall t \in \mathbb R , \phi(s+t)=\phi(s)+\phi(t)$, découvertes par Georg Hamel avec ses bases du $ \mathbb Q$-espace vectoriel $ \mathbb R $, fonctions qui sont discontinues en tout point. Eh bien la fonction $f(t)=e^{i\phi(t)}$ est bornée sur $ \mathbb R $ tout entier, satisfait à l'équation fonctionnelle proposée, et elle est partout discontinue. La bornitude locale ne suffit donc pas pour impliquer la bonne solution $f(t)=e^{mt}$, $m \in \mathbb C$.
La méthode de renforcement que nous avons vue dans mon précédent message nous fait penser que l'on peut supposer $f$ continue par morceaux, ou réglée, ou localement intégrable au sens de Riemann, pour pouvoir enclencher le même raisonnement, et aboutir à la même conclusion $f(t)=e^{mt}$, $m \in \mathbb C$.
Il y a aussi des hypothèses plus faibles qui assurent cette même conclusion, on peut les trouver dans les traités consacrés aux équations fonctionnelles, mais c'est plus cher, comme on dit.
Bonne après-midi.
Fr. Ch. -
merci de tous vos conseils, je progresse
merci bonne soirée. Simeon
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