Dérivabilité

Oui, il faut intégrer la relation convenablement pour exprimer $f$ avec une de ses primitives.

Et peut-être même la continuité en un seul point.

...entre $0$ et $\alpha$.

Puisque le questionneur est satisfait, voici quelques réflexions.

On cherche les applications $f :\mathbb R \rightarrow \mathbb C$ telles que : $ \forall s \in \mathbb R , \forall t \in \mathbb R, f(s+t)=f(s)f(t)$.

On a : $f(0)=0$ ou bien $f(0)=1$.
Si $f(0)=0$, alors $f(t)=0$ pour tout $ t\in \mathbb R$. Si $f(0)=1$, alors $f(t) \in \mathbb C^*$ pour tout $ t\in \mathbb R$. Excluant la solution identiquement nulle, on se place dans ce dernier cas.

Si la fonction $f$ est continue en $0$, alors elle est continue partout, et si elle est continue en un point, alors elle est continue en $0$. On rejoint la remarque de Dom. On se place dans ce cas.

Pour tout $ x\in \mathbb R$, soit $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$. Il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $F(\alpha )\neq 0$.
Intégrant l'équation fonctionnelle proposée, il vient : $\int_{0}^{\alpha }f(s+t)dt=f(s)\int_{0}^{\alpha }f(t)dt$, et comme $\int_{0}^{\alpha }f(s+t)dt=\int_{s}^{s+\alpha }f(u)du$, on obtient : $f(s)=\frac 1{F(\alpha )}(F(s+\alpha )-F(s))$, pour tout $ s\in \mathbb R$. Ainsi, la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$.
C'est la méthode de renforcement des hypothèses, très efficace pour de nombreuses équations fonctionnelles, dont j'ai parlé récemment.

En fait on pourrait en déduire que cette fonction $f$ est ipso facto de classe $\mathcal{C}^{2}$, ..., $\mathcal{C}^{\infty}$. Ce pourrait être utile pour d'autres équations fonctionnelles, mais pas ici.

Dérivations de l'équation fonctionnelle proposée, par rapport à $s$ et par rapport à $t$, conduisent à : $f^{\prime }(s+t)=f^{\prime }(s)f(t)=f(s)f^{\prime }(t)$.
D'où : $f^{\prime }(t)=mf(t)$, avec $m=f^{\prime }(0)$. Équation différentielle linéaire scalaire du premier ordre, la plus simple qui soit.
Elle équivaut à : $e^{-mt}f^{\prime }(t)-me^{-mt}f(t)=0$, d'où : $e^{-mt}f(t)=C$, et $C=1$, soit enfin : $f(t)=e^{mt}$, $m \in \mathbb C$ .
Ceci acquis sous l'hypothèse que $f$ n'est pas la fonction nulle et qu'elle est continue en un point.

Bonne après-midi.
Fr. Ch.
12/04/2021