Convolution - problème sur une démonstration

anymal34 · April 2021

Bonjour
Dans le chapitre convolution de mon livre d'intégration, l'auteur déduit facilement que le produit de convolution de $f$ et $g$ est mesurable (souligné en rouge).

$\forall \varphi$ fonction indicatrice de $\left[a,b \right],\ x \mapsto \varphi(x) \int_{-\infty}^{+\infty}f(y)g(x-y)dy$ intégrable (donc mesurable).

Comment déduit-il que $\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)g(x-y)dy$ mesurable svp ?
En reprenant la définition de fonction mesurable, j'essaie de montrer que
si $\forall \varphi$ fonction indicatrice de $\left[a,b \right],\ \psi(x)=\varphi(x)f(x),$ avec $\psi(x)$ mesurable alors $f(x)$ est mesurable
mais je n'aboutis pas.
Est-ce que quelqu'un peut m'aider sur ce problème svp ? Faut-il s'y prendre différemment ?
Merci.
Nicolas. 120216

Calli · April 2021

Bonjour,
Notons $\varphi_{a,b}$ l'indicatrice de $[a,b]$. Alors $f*g$ est la limite simple de $\varphi_{-n,n}\times(f*g)$ quand $n\to \infty$. Or une limite simple de fonctions mesurables est mesurable.

anymal34 · April 2021

Ah super ! Merci beaucoup Calli

gebrane · April 2021

Bonjours, je ne comprends pas ce raisonnement
$x\mapsto$ truc est intégrable, donc le truc est mesurable
Normalement, pour parler de l’intégrale d'un truc, il faut d'abord que ce truc soit mesurable. Mais puisque Calli est passé avant, c'est que j'ai raté un truc. (De passage )

anymal34 · April 2021

Bonjour,
Moi dans mon cours j'ai f est intégrable si f est mesurable et si $\int_{X}^{}|f|d\mu < \infty$
c'est pour ça que que pour moi intégrable implique mesurable.
Est-ce bien le sens dans ce sens le qu'il faut le prendre dans le théorème de Fubini par exemple svp ?
Merci
Nicolas

Calli · April 2021

Moi j'ai compris que, dans les définitions de Nicolas, l'intégrabilité comprend la mesurabilité, mais je comprends que tu ne le comprennes pas comme ça gebrane. :-P
Mais je n'ai pas compris ce besoin de multiplier par l'indicatrice d'un segment. C'est peut-être dû à la formulation du théorème de Fubini dont Nicolas dispose.

anymal34 · April 2021

Voila le théorème de Fubini dont je dispose.
J'ai trouvé un autre cours sur l'intégration sur internet et c'est exactement la même démonstration, utilisant la fonction indicatrice.
C'est la même chose pour les espace $L^{p}$ dans mon cours :$f \in L^{p}$ si $f$ mesurable et $\int_{X} |f|^{p} < \infty$
Si c'est marqué dans le livre, j'imagine qu'on peut (au moins pour les débuts) utiliser cette définition de l'intégrabilité qui implique mesurabilité ...
Merci pour l'aide. 120238

Calli · April 2021

Ok, il est tout à fait normal ton théorème de Fubini(-Lebesgue). En fait $\varphi$ permet de dire que $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |g(x-y)|\,\varphi(x) \,{\rm d}x \leqslant \|g\|_p (b-a)^{1/q} <\infty$. Car on peut avoir $\|g\|_1 = \infty$.

gebrane · April 2021

Vraiment c'est dingue, un mélange de discours
Tu dis que dans ton cours :$f \in L^{p}$ si $f$ mesurable et $\int_{X} |f|^{p} < \infty$
Ceci est bien, mais après tu me dis que pour montrer la mesurabilité d'un $f $, il suffit de démontrer l’intégrabilité de $f$ : c'est un discours étrange !
Tu veux une vraie preuve de la mesurabilité de votre produit de convolution; alors lis ce fichier joint théorème 3.1

anymal34 · April 2021

Merci, effectivement dans ton théorème l'auteur prend bien soin de vérifier la mesurabilité des fonctions alors que dans mon cours la mesurabilité "arrive" avec le théorème de Fubini qui dit que la fonction est intégrable (donc mesurable).
J'avoue ne pas avoir beaucoup de recul la-dessus, j'espère que ça va s'éclaircir !
Voila les extraits de mon livre: intégration de Jacques Faraut qui montre les définitions que j'ai dans le livre. 120248

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