Une limite pour chacun
Réponses
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Oshine, alors comment tu as trouvé
$f(x)= \exp \left( \ln x(2-x) + x \ln^2 x+ o(x \ln^2 x) \right)$
avec $\boxed{x^{x^x} = x+o(x)}$
Tu ne veux pas montrer tes calculs, as-tu peur ?, je n' y peux rien pour te montrer ton erreur.
Ton calcul est faux et ta limite de $\lim_{x \to 0^+} x^{\left(x^{x^x} - x^x + 1\right)}$ est fausseLe 😄 Farceur -
Ok Gebrane je refais. Bientôt je serai incollable sur les DL/développements asymptotique.
On a $x^x=\exp ( x \ln x)=1+ x \ln x +o( x \ln x )$
Donc $x^{x^x}-x^x+1=x+o(x)- (1+x \ln x +o( x \ln x ) ) +1=x - x \ln x +o(x \ln x)$ car $o(x)=o(x \ln x)$
Ainsi $\boxed{x^{x^{x^x}-x^x+1}= \exp \left( (x \ln x - x \ln^2 x +o(x \ln^2 x) \right)}$
Finalement $\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow 0} x^{x^{x^x}-x^x+1}=e^0=1}$ -
$x$ est négligeable devant $x \ln x$ donc j'aurais pu l'enlever.
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Bien Oshine. Maintenant stp montre moi sans commettre d'erreurs que $x\to x^{x^x} $ est une bijection de $I=]0,+\infty [$ vers $J$ à déterminer .Le 😄 Farceur
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Ok tu me surcharges de boulot ::o
Cette étude de fonction pourrait être donnée au BAC non ? (:D
$\boxed{\forall x >0 \ \ f'(x)=e^{x \ln x} \left( \ln^2 x+ \ln x+\dfrac{1}{x} \right) \exp ( e^{x \ln x} \ln x)}$
La signe de $f'$ est du signe de $z(x)=\ln^2 x+ \ln x+\dfrac{1}{x}$
Je n'ai pas réussi à étudier le signe de $z$, j'ai tout essayé dérivée etc... -
Mais qu'est ce que tu racontes Oshine, je te surcharge ?
J'essaie de t'aider , te proposer des exercices pour gagner confiance en toi.
Dans un forum, il y a de tout
-ceux qui t'aident et te poussent vert l'avant
-ceux qui se moquent et te cassent
Ici personne n'oblige personne, personne ne t'oblige à regarder ces écrits, personne ne m'oblige à l'aider
L'exercice est du niveau BacLe 😄 Farceur -
Question piège : Trouver la limite en $0^+$ de la fonction $x \mapsto x^{x^{x^{x^{x^{\dots}}}}}$.
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Poirot tu t'es fait piégé par ton propre piège
erreur de lecture de la question de PoirotLe 😄 Farceur -
Ah bon ?
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C’était un des objectifs du fil erreur de lecture de la question de PoirotLe 😄 Farceur
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Soit $(x_n)_n$ définie par $x_0=x$ et $x_{n+1} = x^{x_n}$. On note $f(x)$ la limite de $x_n$. Trouver la limite en $0^+$ de $f(x)$.
Si tu avais pensé à ça, je ne trouve pas ça clair étant donné l'évolution de la discussion. -
Poirot relis dom erreur de lecture de la question de PoirotLe 😄 Farceur
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Gebrane, 99% des bacheliers actuels sont incapables de calculer la dérivée de la fonction $x \mapsto x^{x^x}$ et encore moins d'étudier son signe. C'est un exercice de niveau L1.
Poirot on a déjà résolu cet exercice.
Gebrane je ne trouve pas le signe de $z$. -
excuse moi Poirot je suis dans l'erreur tu as mis un nombre infini de x je ne l'avais pas vuLe 😄 Farceur
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Gebrane on l'a déjà résolu le problème avec un nombre infini de $x$ hier.
On a distingué deux cas et j'ai fait une récurrence. -
Je serais curieux de voir ça OShine.
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Oshine, la question du Poirot n'est pas traitée dans le fil.
Pour le signe, trouve le et reviens.Le 😄 Farceur -
Poirot pose la question pour quand il y à une infinité de x, je crois
PS: "Gebrane, 99% des bacheliers actuels sont incapables de calculer la dérivée de la fonction $x \mapsto x^{x^x}$ " (citation de OShine)
C'est vraiment vrai?Je suis donc je pense -
Quentino 37 regarde les sujets de bac jamais tu verras une question de cette difficulté.
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:-( c'est dommageJe suis donc je pense
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Il faudrait d’abord démontrer que la limite de cette suite de fonctions existe.
Édit : et « la limite » en précisant dans quel sens topologique -
\begin{align*}
y&=x^{x^{x^{x^ ...}}}\\
y&=x^{y}\\
x&=\sqrt[y]{y}=e^{\frac{\ln(y)}{y}}.
\end{align*} Quand $y$ tend vers zéro, $\ln(y)/y$ tend vers moins l'infini,
or e puissance moins l'infini est égale à 0
0 est le seul $y$ positif tel que $0=\sqrt[y]{y}$ et $y$ est forcement positif,
donc quand $x$ tend vers $0$, $y$ tend vers $0$.
PS. Ce n'est pas très rigoureux...Je suis donc je pense -
Je n'ai pas de connaissance sur les suites de fonctions donc je laisse mon tour.
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Bon, pour l’exercice de Poirot, on considère la suite de fonctions $(p_n)_n$ définies sur $[0;1]$.
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du coup je me suis trompé? la réponse n'est pas 0?Je suis donc je pense
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C’est un bon travail.
Mais ça n’est pas la même question.
Tu as résolu cela en terme de suite de nombres.
Les questions sont :
1) la suite de fonctions $(x\mapsto p_n(x))_n$ a-t-elle une fonction limite $x\mapsto p(x)$ ?
2) quelle est la limite en $0$ de la fonction $p$ ? (si elle est existe) -
J'ai voulu poser la même question que Poirot, mais j'ai eu l'impression que la suite des puissances successives de $x$ ne convergeait pas pour $x$ petit. Ai-je fait une erreur de calcul, ou est-ce ça le piège ?
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En blanc : La suite des puissances ne converge que pour $x \in [e^{-e}, e^{1/e}]$, donc oui c'est ça le piège.
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Gebrane je n'ai pas réussi à démontrer que $\forall x>0 \ \ \ z(x)=\ln^2(x)+\ln(x)+\dfrac{1}{x} >0$
Je laisse tomber. Je l'admet. Donc $f$ est strictement croissante.
Pour le reste, c'est une bijection de $]0,+\infty[$ dans $]0,+\infty[$, les limites sont faciles à calculer en prenant comme expression $f(x)=\exp \left( e^{x \ln x} \ln x \right)$ -
Oshine il faut être minutieux pour trouver le signe.Le 😄 Farceur
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En etudiant la fonction z ?
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Tu as une semaine pour trouver le signe sinon je vais t' ecrire quelques choses après les 7jours.Le 😄 Farceur
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Gebrane je la trouverai ce soir ce n'est pas non plus infaisable.
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(tu) Bonne réponseLe 😄 Farceur
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Soit $x>0$.
On a $z(x)=\ln^2(x)+\ln(x)+ \dfrac{1}{x}$.
Donc $z'(x)=2 \dfrac{ \ln x}{x} +\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}$
Soit $\boxed{z'(x)=\dfrac{2x \ln x+x-1}{x^2}}$ est du signe du numérateur.
Etudions le signe de $2x \ln x+x-1$
Pas réussi. -
Ben étudie cette fonction.... C'est pas dur, c'est juste pénible. En ce sens-là, avec des questions intermédiaires, c'est bien accessible au BAC. Tu vois bien qu'à force de dériver, on a des fonctions de plus en plus simples !
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Ca donne des migraines de dériver 4-5 fois successivement, après il faut réussir à revenir à ce qu'on cherche.
Posons $u(x)=2x \ln (x)+x-1$ donc $u'(x)=2 \ln(x)+3$
$u'(x) >0 \Leftrightarrow x > \exp(-3/2) \approx 0,22$
Donc $u$ admet un minimum en $m=\exp(-3/2)$. Elle est strictement croissante sur $[ \exp(-3/2),+\infty[$
Or $h(m)<0$ et $h$ est continue sur $]0,+\infty[$, et $h(1)=0$ d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $u$ est négative sur $]0,1]$ et positive sur $[1,+\infty[$
Revenons à présent à $z(x)$. Ainsi, $z$ est strictement décroissante sur $]0,1]$ et strictement croissante sur $[1,+\infty[$. $z$ admet un minimum $m'$ en $1$.
Or $z(m')=z(1)= \ln^2(1)+\ln(1)+\dfrac{1}{1}=1 >0$
Conclusion : $z$ est positive ce qui montre que $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$. -
Oshine tu peux t'en sortir sans étudier de fonctions, mais juste en faisant une petite remarque.
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Quentino37,
Tu as d’abord fait tendre $y$ vers $0$ puis après tu conclus « quand $x$ tend vers $0$ ».
Je n’ai pas compris.
C’était le début $y=x^y$ que je qualifiais de « bon boulot ».
Remarque sur la conclusion : ce serait $0$ et pourtant ça n’arrête pas de osciller ($0$ puis $1$ puis $0$) en étant continu en $0$.
Poirot,
Bel exercice ;-)
Ça pourra en répulser plus d’un :-D -
Nahar bien vu, étant donné que $\forall x>0 \ \ln^2(x) \geq 0$ il suffit de montrer que $\ln(x)+1/x >0$ pour $x>0$.
Ce qui revient à montrer que $x \ln(x) +1>0$ mais je ne sais pas montrer cela sans faire d'étude de fonction. -
Ce que je voulais dire :
- pour $x\ge 1$ ....
- pour $x< 1$ comment écrire ta fonction ?
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OS a écrit:Ca donne des migraines de dériver 4-5 fois successivement, après il faut réussir à revenir à ce qu'on cherche.
Ben non, c'est très courant au contraire. T'as déjà démontré qu'une fonction convexe est au dessus de son développement de Taylor par exemple ?
Il faut dériver autant de fois que le degré du polynôme. En faisant bien le tableau avec les lignes variations/signe des dérivées successives, ça passe tout seul. -
Nahar, pour $x \geq 1$ on a $ \ln(x) \geq 0$ donc $x \ln(x)+1 \geq 1 \geq 0$
Si $x<1$, je n'ai pas compris l'indication.
Alexique je n'ai pas encore étudié les fonctions convexes, bientôt. -
On a pas besoin de dériver:
- Si $x\ge 1$ alors $z(x)>0$
- si $x<1$ alors $z(x)=...>0$ car ...
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Dom écrivait
Ça pourra en répulser plus d’un
Oshine n'est pas Luca Moroni. Cette question n'a pas sa place dans ce fil ( je sais de quoi je parle)Le 😄 Farceur -
Nahar je ne sais pas, j'avais déjà essayé la distinction de cas avec $x<1$ et $x>1$ pendant ma recherche mais je n'ai pas réussi le cas $x<1$.
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$z(x)=\ln^2(x)+\ln(x)+ 1+\dfrac{1}{x}-1$ ?
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