Oshine, alors comment tu as trouvé
$f(x)= \exp \left( \ln x(2-x) + x \ln^2 x+ o(x \ln^2 x) \right)$
avec $\boxed{x^{x^x} = x+o(x)}$
Tu ne veux pas montrer tes calculs, as-tu peur ?, je n' y peux rien pour te montrer ton erreur.
Ton calcul est faux et ta limite de $\lim_{x \to 0^+} x^{\left(x^{x^x} - x^x + 1\right)}$ est fausse
Mais qu'est ce que tu racontes Oshine, je te surcharge ?
J'essaie de t'aider , te proposer des exercices pour gagner confiance en toi.
Dans un forum, il y a de tout
-ceux qui t'aident et te poussent vert l'avant
-ceux qui se moquent et te cassent
Ici personne n'oblige personne, personne ne t'oblige à regarder ces écrits, personne ne m'oblige à l'aider
Gebrane, 99% des bacheliers actuels sont incapables de calculer la dérivée de la fonction $x \mapsto x^{x^x}$ et encore moins d'étudier son signe. C'est un exercice de niveau L1.
Poirot pose la question pour quand il y à une infinité de x, je crois
PS: "Gebrane, 99% des bacheliers actuels sont incapables de calculer la dérivée de la fonction $x \mapsto x^{x^x}$ " (citation de OShine)
C'est vraiment vrai?
\begin{align*}
y&=x^{x^{x^{x^ ...}}}\\
y&=x^{y}\\
x&=\sqrt[y]{y}=e^{\frac{\ln(y)}{y}}.
\end{align*} Quand $y$ tend vers zéro, $\ln(y)/y$ tend vers moins l'infini,
or e puissance moins l'infini est égale à 0
0 est le seul $y$ positif tel que $0=\sqrt[y]{y}$ et $y$ est forcement positif,
donc quand $x$ tend vers $0$, $y$ tend vers $0$.
C’est un bon travail.
Mais ça n’est pas la même question.
Tu as résolu cela en terme de suite de nombres.
Les questions sont :
1) la suite de fonctions $(x\mapsto p_n(x))_n$ a-t-elle une fonction limite $x\mapsto p(x)$ ?
2) quelle est la limite en $0$ de la fonction $p$ ? (si elle est existe)
J'ai voulu poser la même question que Poirot, mais j'ai eu l'impression que la suite des puissances successives de $x$ ne convergeait pas pour $x$ petit. Ai-je fait une erreur de calcul, ou est-ce ça le piège ?
Gebrane je n'ai pas réussi à démontrer que $\forall x>0 \ \ \ z(x)=\ln^2(x)+\ln(x)+\dfrac{1}{x} >0$
Je laisse tomber. Je l'admet. Donc $f$ est strictement croissante.
Pour le reste, c'est une bijection de $]0,+\infty[$ dans $]0,+\infty[$, les limites sont faciles à calculer en prenant comme expression $f(x)=\exp \left( e^{x \ln x} \ln x \right)$
Ben étudie cette fonction.... C'est pas dur, c'est juste pénible. En ce sens-là, avec des questions intermédiaires, c'est bien accessible au BAC. Tu vois bien qu'à force de dériver, on a des fonctions de plus en plus simples !
Ca donne des migraines de dériver 4-5 fois successivement, après il faut réussir à revenir à ce qu'on cherche.
Posons $u(x)=2x \ln (x)+x-1$ donc $u'(x)=2 \ln(x)+3$
$u'(x) >0 \Leftrightarrow x > \exp(-3/2) \approx 0,22$
Donc $u$ admet un minimum en $m=\exp(-3/2)$. Elle est strictement croissante sur $[ \exp(-3/2),+\infty[$
Or $h(m)<0$ et $h$ est continue sur $]0,+\infty[$, et $h(1)=0$ d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $u$ est négative sur $]0,1]$ et positive sur $[1,+\infty[$
Revenons à présent à $z(x)$. Ainsi, $z$ est strictement décroissante sur $]0,1]$ et strictement croissante sur $[1,+\infty[$. $z$ admet un minimum $m'$ en $1$.
Or $z(m')=z(1)= \ln^2(1)+\ln(1)+\dfrac{1}{1}=1 >0$
Conclusion : $z$ est positive ce qui montre que $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$.
Tu as d’abord fait tendre $y$ vers $0$ puis après tu conclus « quand $x$ tend vers $0$ ».
Je n’ai pas compris.
C’était le début $y=x^y$ que je qualifiais de « bon boulot ».
Remarque sur la conclusion : ce serait $0$ et pourtant ça n’arrête pas de osciller ($0$ puis $1$ puis $0$) en étant continu en $0$.
Poirot,
Bel exercice ;-)
Ça pourra en répulser plus d’un :-D
Ca donne des migraines de dériver 4-5 fois successivement, après il faut réussir à revenir à ce qu'on cherche.
Ben non, c'est très courant au contraire. T'as déjà démontré qu'une fonction convexe est au dessus de son développement de Taylor par exemple ?
Il faut dériver autant de fois que le degré du polynôme. En faisant bien le tableau avec les lignes variations/signe des dérivées successives, ça passe tout seul.
Réponses
$f(x)= \exp \left( \ln x(2-x) + x \ln^2 x+ o(x \ln^2 x) \right)$
avec $\boxed{x^{x^x} = x+o(x)}$
Tu ne veux pas montrer tes calculs, as-tu peur ?, je n' y peux rien pour te montrer ton erreur.
Ton calcul est faux et ta limite de $\lim_{x \to 0^+} x^{\left(x^{x^x} - x^x + 1\right)}$ est fausse
On a $x^x=\exp ( x \ln x)=1+ x \ln x +o( x \ln x )$
Donc $x^{x^x}-x^x+1=x+o(x)- (1+x \ln x +o( x \ln x ) ) +1=x - x \ln x +o(x \ln x)$ car $o(x)=o(x \ln x)$
Ainsi $\boxed{x^{x^{x^x}-x^x+1}= \exp \left( (x \ln x - x \ln^2 x +o(x \ln^2 x) \right)}$
Finalement $\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow 0} x^{x^{x^x}-x^x+1}=e^0=1}$
Cette étude de fonction pourrait être donnée au BAC non ? (:D
$\boxed{\forall x >0 \ \ f'(x)=e^{x \ln x} \left( \ln^2 x+ \ln x+\dfrac{1}{x} \right) \exp ( e^{x \ln x} \ln x)}$
La signe de $f'$ est du signe de $z(x)=\ln^2 x+ \ln x+\dfrac{1}{x}$
Je n'ai pas réussi à étudier le signe de $z$, j'ai tout essayé dérivée etc...
J'essaie de t'aider , te proposer des exercices pour gagner confiance en toi.
Dans un forum, il y a de tout
-ceux qui t'aident et te poussent vert l'avant
-ceux qui se moquent et te cassent
Ici personne n'oblige personne, personne ne t'oblige à regarder ces écrits, personne ne m'oblige à l'aider
L'exercice est du niveau Bac
erreur de lecture de la question de Poirot
Si tu avais pensé à ça, je ne trouve pas ça clair étant donné l'évolution de la discussion.
Poirot on a déjà résolu cet exercice.
Gebrane je ne trouve pas le signe de $z$.
On a distingué deux cas et j'ai fait une récurrence.
Pour le signe, trouve le et reviens.
S'il y a u nombre pair de $x$, la limite est nulle, s'il y a un nombre impair de $x$ la limite vaut $1$.
PS: "Gebrane, 99% des bacheliers actuels sont incapables de calculer la dérivée de la fonction $x \mapsto x^{x^x}$ " (citation de OShine)
C'est vraiment vrai?
Édit : et « la limite » en précisant dans quel sens topologique
y&=x^{x^{x^{x^ ...}}}\\
y&=x^{y}\\
x&=\sqrt[y]{y}=e^{\frac{\ln(y)}{y}}.
\end{align*} Quand $y$ tend vers zéro, $\ln(y)/y$ tend vers moins l'infini,
or e puissance moins l'infini est égale à 0
0 est le seul $y$ positif tel que $0=\sqrt[y]{y}$ et $y$ est forcement positif,
donc quand $x$ tend vers $0$, $y$ tend vers $0$.
PS. Ce n'est pas très rigoureux...
Mais ça n’est pas la même question.
Tu as résolu cela en terme de suite de nombres.
Les questions sont :
1) la suite de fonctions $(x\mapsto p_n(x))_n$ a-t-elle une fonction limite $x\mapsto p(x)$ ?
2) quelle est la limite en $0$ de la fonction $p$ ? (si elle est existe)
Je laisse tomber. Je l'admet. Donc $f$ est strictement croissante.
Pour le reste, c'est une bijection de $]0,+\infty[$ dans $]0,+\infty[$, les limites sont faciles à calculer en prenant comme expression $f(x)=\exp \left( e^{x \ln x} \ln x \right)$
On a $z(x)=\ln^2(x)+\ln(x)+ \dfrac{1}{x}$.
Donc $z'(x)=2 \dfrac{ \ln x}{x} +\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}$
Soit $\boxed{z'(x)=\dfrac{2x \ln x+x-1}{x^2}}$ est du signe du numérateur.
Etudions le signe de $2x \ln x+x-1$
Pas réussi.
Posons $u(x)=2x \ln (x)+x-1$ donc $u'(x)=2 \ln(x)+3$
$u'(x) >0 \Leftrightarrow x > \exp(-3/2) \approx 0,22$
Donc $u$ admet un minimum en $m=\exp(-3/2)$. Elle est strictement croissante sur $[ \exp(-3/2),+\infty[$
Or $h(m)<0$ et $h$ est continue sur $]0,+\infty[$, et $h(1)=0$ d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $u$ est négative sur $]0,1]$ et positive sur $[1,+\infty[$
Revenons à présent à $z(x)$. Ainsi, $z$ est strictement décroissante sur $]0,1]$ et strictement croissante sur $[1,+\infty[$. $z$ admet un minimum $m'$ en $1$.
Or $z(m')=z(1)= \ln^2(1)+\ln(1)+\dfrac{1}{1}=1 >0$
Conclusion : $z$ est positive ce qui montre que $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$.
Tu as d’abord fait tendre $y$ vers $0$ puis après tu conclus « quand $x$ tend vers $0$ ».
Je n’ai pas compris.
C’était le début $y=x^y$ que je qualifiais de « bon boulot ».
Remarque sur la conclusion : ce serait $0$ et pourtant ça n’arrête pas de osciller ($0$ puis $1$ puis $0$) en étant continu en $0$.
Poirot,
Bel exercice ;-)
Ça pourra en répulser plus d’un :-D
Ce qui revient à montrer que $x \ln(x) +1>0$ mais je ne sais pas montrer cela sans faire d'étude de fonction.
Ben non, c'est très courant au contraire. T'as déjà démontré qu'une fonction convexe est au dessus de son développement de Taylor par exemple ?
Il faut dériver autant de fois que le degré du polynôme. En faisant bien le tableau avec les lignes variations/signe des dérivées successives, ça passe tout seul.
Si $x<1$, je n'ai pas compris l'indication.
Alexique je n'ai pas encore étudié les fonctions convexes, bientôt.
Ça pourra en répulser plus d’un
Oshine n'est pas Luca Moroni. Cette question n'a pas sa place dans ce fil ( je sais de quoi je parle)