Notation des intervalles dans R

Le Pingouin · April 2021

Bonjour à toutes et à tous.

Je me pose une petite question sur la notation des intervalles dans $\R$.

Soit $a \in \R$. Je souhaite travailler sur un intervalle dont les éléments sont les réels supérieurs ou égaux à $a$ mais je ne sais pas si $a$ appartient ou non à mon intervalle. En clair, je travaille sur $] a ; + \infty [$ ou sur $[ a ; + \infty [$ mais je ne sais pas sur lequel des deux (et ça n'a aucune importance puisque je vais finir par prendre une borne inférieure).

Existe-t-il une notation « officielle » pour désigner cette situation ? Ce serait plus léger que d'écrire « $I = ] a ; + \infty [$ ou $I = [ a ; + \infty [ $».

Quand j'étais en SUP, notre prof notait parfois $( a ; + \infty [$ pour dire « on ne sait pas si l'on garde $a$ ou pas » mais il y a un risque de confusion avec les notations anglo-saxonnes.

john_john · April 2021

au contraire : pour une fois, cette notation anglo-saxonne me semble pertinente. Je l'ai souvent utilisée en cours en précisant qu'elle peut n'être pas comprise en France. Le cas typique est la notation $(a,\infty[$ lorsque l'intervalle a surtout besoin d'être un voisinage de $+\infty$ (exemple : un théorème de double limite)

Le Pingouin · April 2021

Ah mais je ne critique pas la notation anglo-saxonne. Je dis juste que celle qu'employait mon prof de SUP (parfois) peut prêter à confusion ici.

Mon « souci », c'est que je ne sais pas si je suis sur $\{ x \in \R \mid x > a \}$ (noté $( a ; + \infty )$ par les Anglo-saxons) ou sur $\{ x \in \R \mid x \geq a \}$ (noté $[ a ; + \infty )$ par les Anglo-saxons).

Dom · April 2021

Dites-moi, cette notation dite anglo-saxonne, n’est-ce pas justement pour dire que l’on se fiche que le crochet soit dans un sens ou dans l’autre ?

Si c’est le cas, il n’y aurait pas confusion.

Le Pingouin · April 2021

On est d'accord mais dans tout ce que je lis, les Anglo-saxons notent $( a ; + \infty )$ ce que nous notons $] a ; + \infty [$.

marsup · April 2021

Existe-t-il une notation « officielle » pour désigner cette situation ?

J'en doute très très fort.

La concision, c'est bien, mais la clarté, c'est mieux.

Le Pingouin · April 2021

Certes mais là, ce serait un gain de temps et de place. Après, si la notation n'existe pas, elle n'existe pas. Rien n'empêche de la définir dans un mémoire, une thèse, un livre mais je ne voulais pas le faire si elle existe déjà.

Dom · April 2021

Ha d’accord Le Pingouin, je ne savais pas.

J’ai dû déjà me poser la question...

Le Pingouin · April 2021

Mais pas de souci Dom ;-)

Je bosse sur un truc où savoir la borne inférieure est dans l'intervalle ou pas n'apporte rien et c'est ch*** de démontrer qu'elle est dedans (si tel est le cas) mais je veux quand même parler de l'intervalle. C'est un peu pénible à écrire avec des mots.

Euh... Je suis clair ? :-P

Dom · April 2021

Ou alors tu rédiges une remarque préliminaire qui dit « on se fiche ici de savoir si le crochet est comme ceci ou comme cela et je vais continuer en faisaient ce choix là ».

Le Pingouin · April 2021

Ouais, éventuellement...

« On note $( a ; + \infty [$ pour l'intervalle $] a ; + \infty [$ ou $[ a ; + \infty [$ indifféremment ». Du coup, avec cette convention, on ne sait pas si l'assertion « $a \in ( a ; + \infty [ $ » est vraie ou fausse.

Dom · April 2021

Ha ben oui, certainement.
Je ne crois pas que l’on puisse t’aider finalement, surtout sans en savoir davantage.

La notation que tu cherches te pose elle-même un souci.

Héhéhé · April 2021

Les parenthèses en notation anglo-saxonne désignent des extrémités ouvertes
$$(a,b) = \, ]a,b[ \qquad [a,b) = [a,b[ \qquad (a,b] = \,]a,b]$$
pour $-\infty \leq a < b \leq + \infty$.

Utiliser une parenthèse pour noter un "ou" me semble dangereuse et induit des confusions.

Surtout que $]a,+\infty[\,\subset [a,+\infty[$, donc on ne prend pas de risque à travailler dans $[a,+\infty[$...

AD · April 2021

Bonjour Le Pingouin
Si tu définis ta notation, alors tu peux choisir un symbole n'ayant pas déjà une signification comme $(a,+\infty[$, qui pour ceux qui la pratiquent (les anglo-saxons) risque d'induire un autre sens que celui que tu veux donner.
Je te suggère $\quad |a,+\infty[\ $ ou $\ \ddagger a,+\infty[\ $ ou même $\ {\raise-1mm\Large\tt I}a,+\infty[\ $ qui ont l'avantage d'intriguer le lecteur qui se remémore alors ta définition initiale.
Alain
PS. Si tu demandes à Brian, il va te concocter une macro sympa ... :-)
PS2. il y a aussi $\ \between a,+\infty[$.

Le Pingouin · April 2021

OK AD, merci. Il n'existe pas de notation officielle donc je peux choisir ce que je veux du moment que ce n'est pas déjà une notation existante.

Pour une macro, je m'en sortirai bien tout seul ;-)(tu)

Dom · April 2021

J’ai pensé à ton idée, AD, notamment avec la barre verticale.

Mais de toute manière, quelle que soit la notation, on aura le problème soulevé dans ce message : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2221474,2221600#msg-2221600
Si toutefois c’est un réel problème dans le contexte que l’on ne connaît pas.

Le Pingouin · April 2021

Quel problème Dom ? Celui de savoir si $a$ appartient ou non à l'intervalle ?

Dom · April 2021

Oui tu disais que c’était un problème, avais-je compris.

Le Pingouin · April 2021

En fait, non.

Pour tout te dire, je travaille avec une fonction $f : \R \to [ 0 ; 1 ]$ croissante et telle que $\displaystyle{\lim_{x \to - \infty} f( x )} = 0$ et $\displaystyle{\lim_{x \to + \infty} f( x )} = 1$. Je prends $y \in ] 0 ; 1 [$ et je note $f^{*}( y ) = \inf\{ x \in \R \mid f( x ) > y\}$.

$f^{- 1}( ] y ; 1 [ )$ est l'intervalle $[ f^{*}( y ) ; + \infty[$ ou l'intervalle $] f^{*}( y ) ; + \infty [$. Dans la suite de mon travail, je prends la borne inférieure de cet intervalle qui, dans les deux cas, $f^{*}( y )$. Donc je me fiche complètement de savoir si l'intervalle est fermé ou non mais si je veux en parler, il me faut bien une notation.

Le Pingouin · April 2021

Je pourrais essayer de savoir si $f^{*}( y )$ est dans l'intervalle ou non mais ça ne me sert à rien dans la suite donc je ne veux pas m'embêter.

GaBuZoMeu · April 2021

Bonjour,

$f^{-1}(]y;1[)$ me semble une bonne notation.

Héhéhé · April 2021

Dans ce cas là, as-tu vraiment besoin d'introduire une notation ? Tu peux garder simplement $f^{-1}(]y,1[)$ sans le mettre sous la forme d'un intervalle... Je ne vois vraiment pas ce qu'apporte ta notation.