Notation des intervalles dans R
dans Analyse
Bonjour à toutes et à tous.
Je me pose une petite question sur la notation des intervalles dans $\R$.
Soit $a \in \R$. Je souhaite travailler sur un intervalle dont les éléments sont les réels supérieurs ou égaux à $a$ mais je ne sais pas si $a$ appartient ou non à mon intervalle. En clair, je travaille sur $] a ; + \infty [$ ou sur $[ a ; + \infty [$ mais je ne sais pas sur lequel des deux (et ça n'a aucune importance puisque je vais finir par prendre une borne inférieure).
Existe-t-il une notation « officielle » pour désigner cette situation ? Ce serait plus léger que d'écrire « $I = ] a ; + \infty [$ ou $I = [ a ; + \infty [ $».
Quand j'étais en SUP, notre prof notait parfois $( a ; + \infty [$ pour dire « on ne sait pas si l'on garde $a$ ou pas » mais il y a un risque de confusion avec les notations anglo-saxonnes.
Je me pose une petite question sur la notation des intervalles dans $\R$.
Soit $a \in \R$. Je souhaite travailler sur un intervalle dont les éléments sont les réels supérieurs ou égaux à $a$ mais je ne sais pas si $a$ appartient ou non à mon intervalle. En clair, je travaille sur $] a ; + \infty [$ ou sur $[ a ; + \infty [$ mais je ne sais pas sur lequel des deux (et ça n'a aucune importance puisque je vais finir par prendre une borne inférieure).
Existe-t-il une notation « officielle » pour désigner cette situation ? Ce serait plus léger que d'écrire « $I = ] a ; + \infty [$ ou $I = [ a ; + \infty [ $».
Quand j'étais en SUP, notre prof notait parfois $( a ; + \infty [$ pour dire « on ne sait pas si l'on garde $a$ ou pas » mais il y a un risque de confusion avec les notations anglo-saxonnes.
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Réponses
Mon « souci », c'est que je ne sais pas si je suis sur $\{ x \in \R \mid x > a \}$ (noté $( a ; + \infty )$ par les Anglo-saxons) ou sur $\{ x \in \R \mid x \geq a \}$ (noté $[ a ; + \infty )$ par les Anglo-saxons).
Si c’est le cas, il n’y aurait pas confusion.
La concision, c'est bien, mais la clarté, c'est mieux.
J’ai dû déjà me poser la question...
Je bosse sur un truc où savoir la borne inférieure est dans l'intervalle ou pas n'apporte rien et c'est ch*** de démontrer qu'elle est dedans (si tel est le cas) mais je veux quand même parler de l'intervalle. C'est un peu pénible à écrire avec des mots.
Euh... Je suis clair ? :-P
« On note $( a ; + \infty [$ pour l'intervalle $] a ; + \infty [$ ou $[ a ; + \infty [$ indifféremment ». Du coup, avec cette convention, on ne sait pas si l'assertion « $a \in ( a ; + \infty [ $ » est vraie ou fausse.
Je ne crois pas que l’on puisse t’aider finalement, surtout sans en savoir davantage.
La notation que tu cherches te pose elle-même un souci.
$$(a,b) = \, ]a,b[ \qquad [a,b) = [a,b[ \qquad (a,b] = \,]a,b]$$
pour $-\infty \leq a < b \leq + \infty$.
Utiliser une parenthèse pour noter un "ou" me semble dangereuse et induit des confusions.
Surtout que $]a,+\infty[\,\subset [a,+\infty[$, donc on ne prend pas de risque à travailler dans $[a,+\infty[$...
Si tu définis ta notation, alors tu peux choisir un symbole n'ayant pas déjà une signification comme $(a,+\infty[$, qui pour ceux qui la pratiquent (les anglo-saxons) risque d'induire un autre sens que celui que tu veux donner.
Je te suggère $\quad |a,+\infty[\ $ ou $\ \ddagger a,+\infty[\ $ ou même $\ {\raise-1mm\Large\tt I}a,+\infty[\ $ qui ont l'avantage d'intriguer le lecteur qui se remémore alors ta définition initiale.
Alain
PS. Si tu demandes à Brian, il va te concocter une macro sympa ... :-)
PS2. il y a aussi $\ \between a,+\infty[$.
Pour une macro, je m'en sortirai bien tout seul ;-)(tu)
Mais de toute manière, quelle que soit la notation, on aura le problème soulevé dans ce message : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2221474,2221600#msg-2221600
Si toutefois c’est un réel problème dans le contexte que l’on ne connaît pas.
Pour tout te dire, je travaille avec une fonction $f : \R \to [ 0 ; 1 ]$ croissante et telle que $\displaystyle{\lim_{x \to - \infty} f( x )} = 0$ et $\displaystyle{\lim_{x \to + \infty} f( x )} = 1$. Je prends $y \in ] 0 ; 1 [$ et je note $f^{*}( y ) = \inf\{ x \in \R \mid f( x ) > y\}$.
$f^{- 1}( ] y ; 1 [ )$ est l'intervalle $[ f^{*}( y ) ; + \infty[$ ou l'intervalle $] f^{*}( y ) ; + \infty [$. Dans la suite de mon travail, je prends la borne inférieure de cet intervalle qui, dans les deux cas, $f^{*}( y )$. Donc je me fiche complètement de savoir si l'intervalle est fermé ou non mais si je veux en parler, il me faut bien une notation.
$f^{-1}(]y;1[)$ me semble une bonne notation.