Calcul intégral avec Fourier

L'orthogonalité pour le produit scalaire de $L^2(0,2 \pi )$; on calcule la primitive des exponentielles complexes d'argument $2(k-j) \pi \theta$ et l'intégrale donne zéro si $i \neq j$.
Donc en intégrant la somme, il reste le coefficient que vous avez calculé.

Bonjour
Voici ce que je comprends
On fixe n et on note $\phi(x)=\sin^{2n}(x)$
l'auteur démontre( avec un changement d'indice) que $\phi(x)=\sum_{k=-n}^{n} c_k e^{2ikx}$ c'est le développement en série de Fourier de $\phi$
(Rappelons la série de Fourier d'une fonction $\pi$ périodique s’écrit de maniere unique : $f(x)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k e^{2ikx}$

et il utilise que la moyenne de $\phi$ sur $[0,\pi]$ est le coefficient $c_0$
effacement d'une partie du message

bonjour gerard,
pour l’orthogonalité c’était une redondance de la part de l'auteur, car on le sait.
C'est la base de la décomposition en série de Fourier, la famille $(e^{2ikx})_k$ est une famille orthogonale dans $L^2(0,\pi)$ pour le produit scalaire $<f,g>=\int_0^{\pi} f(x)\bar g(x) dx$
Pour ta deuxième question, l'auteur a commis une coquille
son coefficient de Fourier ( était juste) est
$$c_k(\phi)=\frac{(-1)^n}{4^n}C^{k+n}_{2n} (-1)^{k+n}$$
donc $$\frac 1{\pi}\int_0^{\pi} \phi(x)dx=c_0(\phi)=\frac{1}{4^n}C^{n}_{2n}$$ c'est à dire
$$\frac 2{\pi}\int_0^{\frac {\pi}2} \phi(x)dx=\frac{1}{4^n}C^{n}_{2n}$$ d'où et c'est la sa coquille

$$\int_0^{\frac {\pi}2} \phi(x)dx=\frac{1}{4^n}C^{n}_{2n}\frac {\pi}2$$

gerard0, Mais ce n'est pas du n'importe quoi,
Certes des coquilles ou maladresses mais l'idée est bonne. Je t'avoue, je ne connaissais pas le calcul des intégrales de Wallis par les séries de Fourier

L'orthogonalité est fortement utilisé pour déterminer les coefficients de Fourier.
J'ai compris la chose suivante, par orthogonalité de ... on déduit que ... c'est pour rappeler que le coefficient $c_0$ qui nous intéresse ici , se calcule ainsi : par orthogonalité

gerard moi j’utilise l'orthogonalité pour prouver que c_0 est la valeur moyenne sans faire aucun calcul d’intégrale
Vois-tu ce que je veux dire?

gerard dit ''Et moi, ça ne m'intéresse pas plus que ça.''

Ceci clôt la discussion. J'ai pris la défence de l'auteur et le but n’était pas de te contredire. À mon avis dire que c’était du n'importe quoi, c'est exagéré. Point.