Calcul intégral avec Fourier
dans Analyse
Je ne comprends pas la correction de cet exercice qui a pour but de calculer
Wn= intégrale de 0 à pi/2 de sin2nt
Wn= intégrale de 0 à pi/2 de sin2nt
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Réponses
Ta fonction est développable en série de Fourier, et son coefficient $c_0$ est donné par $c_0 = \frac 1 T\int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}\varphi(t)\ dt$. En utilisant la parité et $T=\pi$, on obtient $c_0 = \frac 2 {\pi}\int_{0}^{\frac {\pi} 2}\varphi(t)\ dt$. Et $c_0$ est connu, c'est le coefficient constant du développement de le deuxième ligne, celui pour $k=n$, celui de l'exponentielle de 0.
Par contre, je fais toutes réserves sur la dernière ligne, aussi bien l'argument (orthogonalité ??) que le calcul.
Cordialement.
Donc en intégrant la somme, il reste le coefficient que vous avez calculé.
Ce n'est pas l'orthogonalité qui joue ici, seulement le fait que les intégrales des exponentielles sont nulles, sauf pour $k=n$. On peut intégrer $\varphi$ comme un produit scalaire $<\sin^n,\sin^n>$, mais alors ce n'est pas la série de Fourier de $\sin^{2n}$ qui va intervenir.
Et la fin est du n'importe quoi !!
Cordialement.
Voici ce que je comprends
On fixe n et on note $\phi(x)=\sin^{2n}(x)$
l'auteur démontre( avec un changement d'indice) que $\phi(x)=\sum_{k=-n}^{n} c_k e^{2ikx}$ c'est le développement en série de Fourier de $\phi$
(Rappelons la série de Fourier d'une fonction $\pi$ périodique s’écrit de maniere unique : $f(x)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k e^{2ikx}$
et il utilise que la moyenne de $\phi$ sur $[0,\pi]$ est le coefficient $c_0$
effacement d'une partie du message
Comment comprends-tu le "par orthogonalité" ?
Et que penses-tu de la valeur proposée pour $W$ ? En particulier, avec quoi s'est simplifié le $\pi$ ?
Cordialement.
pour l’orthogonalité c’était une redondance de la part de l'auteur, car on le sait.
C'est la base de la décomposition en série de Fourier, la famille $(e^{2ikx})_k$ est une famille orthogonale dans $L^2(0,\pi)$ pour le produit scalaire $<f,g>=\int_0^{\pi} f(x)\bar g(x) dx$
Pour ta deuxième question, l'auteur a commis une coquille
son coefficient de Fourier ( était juste) est
$$c_k(\phi)=\frac{(-1)^n}{4^n}C^{k+n}_{2n} (-1)^{k+n}$$
donc $$\frac 1{\pi}\int_0^{\pi} \phi(x)dx=c_0(\phi)=\frac{1}{4^n}C^{n}_{2n}$$ c'est à dire
$$\frac 2{\pi}\int_0^{\frac {\pi}2} \phi(x)dx=\frac{1}{4^n}C^{n}_{2n}$$ d'où et c'est la sa coquille
$$\int_0^{\frac {\pi}2} \phi(x)dx=\frac{1}{4^n}C^{n}_{2n}\frac {\pi}2$$
C'est le développement de ce que j'écrivais dans mon premier message.
Cordialement.
Certes des coquilles ou maladresses mais l'idée est bonne. Je t'avoue, je ne connaissais pas le calcul des intégrales de Wallis par les séries de Fourier
Et sinon, ce genre de calcul est classique, j'ai fait des exercices de ce genre avec mes étudiants d'IUT (sans parler d'orthogonalité ;-) ).
Cordialement.
J'ai compris la chose suivante, par orthogonalité de ... on déduit que ... c'est pour rappeler que le coefficient $c_0$ qui nous intéresse ici , se calcule ainsi : par orthogonalité
Sérieusement, quand on dit "Par orthogonalité", c'est que l'orthogonalité est un des outils du calcul. Le calcul n'utilise aucun argument d'orthogonalité, alors qu'il utilise par exemple le fait que la série de Fourier est unique, mais il n'est pas dit "Par unicité".
Je le redis, c'est un très mauvais corrigé qui parle de ce qui ne sert pas et est finalement faux.
J'espère que ce n'est pas parce que c'est toi qui l'as rédigé que tu insistes autant ;-)
Vois-tu ce que je veux dire?
Et on voit que tu n'as pas eu à présenter les séries de Fourier à des étudiants qui étaient peu de temps auparavant en STI ou bac pro !!
Encore une fois, tu as utilisé $c_0$, tu ne l'as pas calculé "Par orthogonalité". Quant au rédacteur de ce "corrigé", il n'a même pas été capable d'utiliser correctement la formule connue, ni même de se demander où était passé $\pi$.
Cordialement.
Ceci clôt la discussion. J'ai pris la défence de l'auteur et le but n’était pas de te contredire. À mon avis dire que c’était du n'importe quoi, c'est exagéré. Point.