Intégrale avec arctangente (exercice)
Réponses
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1 a) $f_n(x) \sim x^{-2}$ donc $I_n$ converge.
1 b) -
Intégration par parties à vue d'œil...
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Bonsoir,
Cela m'intéresse aussi.
Z -
Et puis, tant qu'on y est sur les questions :
Tu prépares un concours de recrutement de professeurs en France, zestiria, c'est ça ? Lequel, si ce n'est pas indiscret ? -
J'ai été reçu au CAPES l'an dernier , avec un rang inférieur à 450. Je suis certifié stagiaire.
Je prépare l'agrégation. J'ai passé l'agrégation cette année. -
$
\begin{align*}
u'&= (-n+1) 4x^3 (1+x^4)^{-n-1}\\
u &=x^{4n-1}\\
v &= x^{4n-1} \\
v' &= (4n-1) x^{4n-2} \\
I_{n+1}&= \int_{0}^{ + \infty} \dfrac{-4n x^3 x^{4n-1} }{ 4 (1+x^4)^{n+1} (-n) }\\
I_{n+1}&= \left[ \dfrac{ x^{4n-1}}{-4n (1+x^4)^n } \right] + \int_{0}^{ + \infty} \dfrac{ x^{4n-2}}{4n (1+x^4)^n } \\
I_{n+1} &= \dfrac{4n-1}{4n}I_n \\
I_2 &=\dfrac{1}{4 \times 1}I_1 \\
I_{n+1} &= \dfrac{1}{4^n n!} I_1 ???? \\
I_1&= \int_{0}^{ + \infty} \dfrac{ x^{2}}{ (1+x^4) } dx \\
\end{align*}
$
Qu'est-ce que je fais après ? Pour $I_1$ je peux poser $u= \dfrac{1}{x}$.
$I_1= \int_{0}^{ + \infty} \dfrac{1}{1 + u^4} du $ -
Bonjour,
$I_1$ peut se calculer très simplement par une décomposition en éléments simples:
$1+x^4=1+2x^2+x^4-2x^2$.
Cordialement,
Rescassol -
Tout polynôme de degré supérieur à $3$ doit se factoriser. $x^4-1 = (x^2 -1) (x^2+1)$
mais comment on factorise $x^4+1$ ? -
Bonjour,
$1+x^4=(1+x^2)^2-2 x^2.$ -
Rescassol suggère habilement : $1+x^4=1+2x^2+x^4-2x^2 = (1+x^2)^2 - (\sqrt{2}x)^2$
Moi, je remarque, moins astucieusement, que $1+x^4 = x^4 - {e^{i\pi/4}}^4 = - \big[\big(\frac{x}{e^{i\pi/4}}\big)^4 - 1\big]$ -
Apparemment, j'ai fait des erreurs. Maths Stack ExchangeMaths Stack Exchange a écrit:$$ \int_0^{\infty} \dfrac{ x^{2}}{ 1+x^4 } dx
\overset{x\to \frac1x}=\frac12\int_0^{\infty} \dfrac{ 1+x^2}{ 1+x^4 } dx = \frac12 \int_0^{\infty} \dfrac{ 1+\frac1{x^2}}{ x^2+\frac1{x^2} } dx \\
= \frac12 \int_0^{\infty} \dfrac{ d(x-\frac1{x})}{ (x-\frac1{x})^2+2 } dx =\frac\pi{2\sqrt2}
$$ -
(Personnellement, je ne suis pas sûr que je saurais déployer une telle virtuosité le jour du concours, zestiria ! :-P)
-
Le calcul de $I_1$ est juste une routine fastidieuse et archaïque, et l'énoncé ne le demande pas, si j'ai bien lu.
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Essayons de résoudre $I_1= \int_{0}^ {+ \infty} \dfrac{x^2}{ 1+x^4} dx$. Il faut un équivalent de $I_n$.
La première possibilité est de faire une décomposition en éléments simples, cela ressemble aux calculs en argth x.
Comment est-ce dans Maths Stack Exchange, l'autre intervenant fait son changement en $u=\dfrac{1}{x}$ ? -
Bonsoir,
Il manque un facteur $4n-1$ dans ton intégration par parties. -
$I_{n+1} = \frac{? }{4n} I_n$
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J'ai compris pour le changement de variable.
\begin{align*}
\int_0^{\infty} \dfrac{ x^{2}}{ 1+x^4 } dx
&\overset{x\to \frac1x}=\int_0^{\infty} \dfrac{ 1}{ 1+x^4 } dx = \frac12 \Big( \int_0^{\infty} \dfrac{ 1}{ 1+x^4 } dx + \int_0^{\infty} \dfrac{ x^{2}}{ 1+x^4 } dx \Big) \\
&~= \frac12\int_0^{\infty} \dfrac{ 1+x^2}{ 1+x^4 } dx = \frac12 \int_0^{\infty} \dfrac{ 1+\frac1{x^2}}{ x^2+\frac1{x^2} } dx \\
&~= \frac12 \int_0^{\infty} \dfrac{ d(x-\frac1{x})}{ (x-\frac1{x})^2+2 } dx =\frac\pi{2\sqrt2}
\end{align*} Donc le calcul de $I_1$ est fait. -
Et l'origine de cet exercice ?
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On peut faire par décomposition en éléments simples aussi. C'est moins éblouissant, bien sûr, mais plus systématique aussi...
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Comme le dit chaurien, le calcul de $I_1$ n'est pas demandé.
Et s'il l'était, je crois qu'il vaut mieux le faire de façon plus "naturelle" , car de telles idées on ne les a pas systématiquement -
Il y a aussi un possible calcul de $I_1$ par la méthode des résidus pour les fonctions rationnelles avec des pôles non réels, qui s'établit spécifiquement, sans la grande théorie des résidus. J'en ai déjà parlé, je ne sais plus quand, je ne sais plus où.
Mais je répète, l'énoncé ne demande pas de calculer $I_1$. -
Etanche, arrête, on va tout faire à la place de Zestiria et c'est prohibé par la Charte (que Dieu la glorifie).
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@zestiria en 1986 L.G.Vidiani avait écrit un article sur le recherche d’équivalents d’intégrales dans la RMS
L.G.Vidiani Équivalents intégrales à paramètres
Est-ce que l’un d’entre vous le connaît ? Son article est vraiment bien fait. -
J'ai vu mon erreur, $I_{n+1} = \dfrac{4n-1}{4n} I_n$ mais pour le passage de $I_2$ à $I_1$, je vérifie la formule sans succès pour l'instant.
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Lazare Georges Vidiani, « est-ce que l’un d’entre vous le connaît ? » Oui, moi, nous correspondons depuis près de cinquante ans. Professeur en Math Spé, auteur de nombreux articles et livres couvrant plusieurs domaines, contributeur à plusieurs revues. Présentement retraité mais toujours en pleine forme mathématique, vivant en Bourgogne.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
A part le fait que dans tes calculs $u= (1+x^4)^{-n}$ et non $u=x^{4n-1}$ le reste est bon.
Pas besoin de vérifier quoi que ce soit. -
Zestiria, tu as trouvé : $I_{n+1}= \dfrac{4n-1}{4n}I_n $.
C'est l'essentiel.
Fais là-dedans $n:=2$, $n:=3$,..., $n:=n-1$ et tu auras la question 1 (c).
Inutile de vouloir caser des factorielles de vive force.
C'est très simple, pas besoin de consulter quoi que ce soit.
Bon courage. -
$I_{n+1} = \dfrac{ \prod_{k=1}^n (4k-1) }{ 4^n n!} I_1 =\prod_{k=1}^n \dfrac{4k-1}{4k} I_1=\prod_{k=1}^n (1- \dfrac{1}{4k}) I_1$
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$\ln( 1 - u) \sim u$ donc $\ln (1 - \dfrac{1}{4k}) \sim - \dfrac{1}{4k}$ terme d'une série qui diverge vers $-\infty$ . Est-ce à dire que $I_n \to 0$ ?
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oui
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Bravo ! On voit bien qu'il n'était pas indispensable de calculer $I_1$.
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La question 2 (a) est un résultat qu'il faut avoir vu au moins une fois et qu'il faut mémoriser. C'est la sommation des relations de comparaison, qui se traite avec une méthode de coupe-en-deux à la Cesàro. Il n'est pas nécessaire de supposer que $b_n$ soit à termes strictement positifs.
Bon courage.
Fr. Ch. -
(Je trouve que ce n'est pas une idée saugrenue que de se demander quelle pourrait bien être la valeur de $I_1$, même si la limite de $(I_n)$ n'en dépend pas...)
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2 a )
- Sommation des relations de comparaison preuve ici
2 b) On en déduit que $\ln I_n \sim - \dfrac{ln n}{4}$
3 a)
3 b)
(i) Intégration par parties. $ \K_n= n^{ \frac{1}{k} } \int_{0}^{ + \infty} g_n(t) dt$
(ii) Formule de Taylor-Lagrange :
Pour $u>0$, $ \exists 0<c<u, e^{-u} = 1 - u+ \dfrac{u^2}{2!} - \dfrac{u^3}{3!} e^{c} $
c'est pas le bon ordre pour le developpement. -
Bonjour
@Zestiria vu que tu prépares l'agrégation tu devrais penser au de calcul de $I_1$ par le th des résidus, c'est assez immédiat !
$ I_1= i \pi (\dfrac{1}{ 4 z_1^3}+\dfrac{1}{ 4 z_2^3} ) =\frac{\pi }{2 \sqrt{2}} $
$z_1=exp(i \pi/4)$ et $z_2=exp(i 3 \pi/4)$ étant les racines de $z^4+1 $ de partie imaginaire >0 . -
C'est sûr... Tout comme la démonstration du théorème de d'Alembert Gauss qui se fait en 4-5 lignes avec l'analyse complexe.
-
3 a)
$ t^2 \exp\Big( -\dfrac{t}{n^{\frac{1}{k} }}\Big) \arctan t \ \underset{ t \to \infty}{ \sim} \ \dfrac{\pi}{2} t^2 \exp\Big( -\dfrac{t}{n^{\frac{1}{k} }}\Big)\xrightarrow[ t \to \infty]{}0, $
donc l'intégrale est convergente.
3 b) (i) fait
3 b) (ii) on dirait une formule de Taylor ce que j'avais suggérée plus haut, et cela reste vague. Comment faire ?
Question sur Maths Stack Exchange
Je compte apprendre l'analyse complexe.
4 ) On fait Cauchy-Schwarz. Maths Stack Exchange
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Bonjour!
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