Convergence uniforme

Sur quel domaine? Sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$ avec $a>0$, tu peux utiliser la convergence normale.

Bonjour Bouallagui Zied.

La charte du forum (A lire avant de poster) dit explicitement :
" Ne demandez pas à d'autres de faire des devoirs que vous n'avez pas le courage de faire vous-même. Par contre, si vous avez cherché sans succès et que vous exposez ce que vous avez tenté et les résultats déjà obtenus, il se trouvera sûrement quelqu'un pour donner un coup de pouce ou une piste..." (c'est moi qui souligne)

Pour l'instant, aucune participation mathématique de ta part, alors que MrJ et Gebrane t'ont aidé. juste un bout de phrase pour relancer l'aide ... C'est très insuffisant !

J’ai un doute : il me semble que l’on obtient que la convergence est uniforme sur $[0, +\infty[$ avec une transformation d’Abel. Est-ce exact?

Si oui, y aurait-il une méthode plus directe pour procéder (je sais le faire par exemple si on a $x$ à la place de $\sin(nx)$, mais la méthode utilisée pour la majoration ne semble pas adaptable à ce cas).

Bouallagui Zied
Ton raisonnement est faux car ton reste ne tend pas vers $0$ uniformément en $x$.
Si tu avais à la place de $\sin nx$ seulement un $x$ comme a dit Mrj, alors d'accord car dans ce cas les $x$ s’éliminent par $e^{x}-1>x$.

Je ne pense plus qu'Abel fonctionne en fait...

Bonjour,
La convergence de la série me paraît bien uniforme sur $[0;+\infty[$.
Notons: $\forall N \in \N^*,\: \forall x\geqslant0, \: \displaystyle R_N(x) = \sum_{n=N}^{+\infty}\dfrac{\mathrm e^{-nx}\sin (nx)}{\log(n+1)},\qquad S_N(x) =\sum_{n=N}^{+\infty} \mathrm e^{-nx}\sin (nx),\qquad T_n(x) =\sum_{n=N}^{+\infty} \mathrm e^{(-1 + \mathrm i)nx}.$
$\forall x>0, \:\: T_N(x) = \dfrac {\mathrm e^{(-1+\mathrm i)Nx}}{1-\mathrm e^{(-1+\mathrm i)x}}, \quad S_N(x) = \mathfrak {Im} (T_N(x) ) =$( ! plantage ) $\dfrac {\mathrm e^{-Nx}}2 \left(\sin (Nx) + \dfrac {\mathrm e^{-x}\sin x\: \cos(Nx)} {1-\mathrm e^{-x}\cos x}\right ).$
Comme le signale Jandri, que je remercie, dans un message ultérieur, le dénominateur est $1+\mathrm e^{-2x} - 2 \mathrm e^{-x}\cos x$, qui a la très mauvaise idée d'être un $ o (x)$ et il va donc falloir trouver autre chose pour conclure.
$ \forall x>0, \quad |S_N(x)| \leqslant \dfrac 12 \left(1 +\left| \dfrac {\mathrm e^{-x}\sin x}{1 - \mathrm e^{-x}\cos x}\right|\right).\qquad \exists A>0\:$ tel que $\:\: \forall x\geqslant 0, \forall N \in \N, \quad |S_N(x)|<A.$
Avec une transformation d' Abel opérée sur $R_N(x)$, cette majoration et la décroissance de la suite $\left(\dfrac 1{\log(n+1)}\right )_n$ conduisent à la convergence uniforme sur $[0;+\infty[$ de $(R_N)_N$ vers $0.$ [\s]

Ah oui, je n'avais pas pensé à regarder la somme du sinus et de l'exponentielle ! Merci LOU16.

Mrj up?

@Bouallagui : Si $x\in\pi\Q^-$, alors la limite est nulle, sinon elle n’existe pas.

Bonjour, pourquoi n'a-t-on pas le droit dire: " la série converge uniformément sur $[a;+\infty[$ pour tout $a>0$ et elle converge pour $x=0$ donc elle converge uniformément sur $[0;+\infty[$" ?
S'agit-il d'un problème de convergence localement uniforme ?

Olala raoul, tu as lapidé l'assemblée [raoul-s mon heros]

https://media.giphy.com/media/E8rJEUMGs9cyWEtNXT/giphy.gif

hummm non

(tu)

Pour faire échouer le raisonnement de raoul, peut être l faut regarder avant la série
$$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\mathrm e^{-nx}\sin (nx)}{n}$$ pour une possible généralisation

Parce que la continuité est une propreté propriété locale

@totem : Dire que $(f_n)_n$ converge uniformément vers $0$ sur tout $[a, +\infty[$ avec $a > 0$, ça veut dire que pour chaque $a > 0$, tu peux trouver une majoration $|f_n(x)| \leq g_n(a)$ valable pour $x \geq a$ avec $g_n(a) \underset{n \to +\infty}{\to} 0$ et $g_n(a)$ est uniforme par rapport à $x$, c'est-à-dire qu'il ne dépend pas de $x$. Il n'y a aucune raison que tu puisses en déduire une majoration uniforme pour tous les $x > 0$.

Bonjour,
Une analogie avec une situation plus simple à comprendre : la fonction $x\mapsto \frac1x$ est bornée sur chaque $[a,\infty[$ pour $a>0$ mais elle n'est pas bornée sur $]0,\infty[$. Le truc c'est que la borne dépend de $a$. Et c'est pareil dans cette histoire de convergence uniforme : la vitesse de convergence uniforme dépend de $a$, donc la vitesse de convergence n'est plus uniforme en $x$ quand $x$ balaie $\bigcup_{a>0} [a,+\infty[$.

C'est le contrôle par quelque chose de la forme $g_n(a)$. Il se peut très bien qu'il soit de plus en plus mauvais quand $a$ se rapproche de $0$.

Pas compris. Plutôt un truc du style $g_n(a) = \frac{1}{na}$.

Sinon, un exemple un peu extrême : $f_n :x\mapsto \frac1{nx}$.
Alors, $\forall a>0, \sup\limits_{x\in[a,\infty[} |f_n(x)| = \frac1{na}\underset{n\to\infty}\longrightarrow 0$. Donc $f_n $ converge vers $0$ uniformément sur chaque $[a,\infty[$ pour $a>0$.
Et la définition de "$f_n $ converge vers $0$ uniformément sur $]0,\infty[$" est "$\sup\limits_{x\in{]0,\infty[}}|f_n(x)| \underset{n\to\infty}\longrightarrow 0$". Sauf que : $\forall n, \sup\limits_{x\in{]0,\infty[}}|f_n(x)| = +\infty$ ! Donc c'est mort, $f_n$ n'a aucune chance de converger uniformément sur $]0,\infty[$ vers 0 !

Sans avoir la réponse à la question de jandri, on peut néanmoins dire que la condition $\lim\limits_{n\to \infty}na_n =0$ est suffisante à la convergence uniforme (pour rappel on suppose les $a_n$ positifs).

En effet posons $f_n(x):= a_n\mathrm e^{-nx}|\sin (nx)|$. La série $\displaystyle \left(\sum f_n\right)$ converge uniformément sur les intervalles du type $[a,+\infty[$ avec $a>0$ (facile à montrer). Donc $S(x) =\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x)$ est continue sur $]0,+\infty[$.

Si on montre que $S$ est continue en $0$ on pourra utiliser le théorème de Dini pour garantir la convergence uniforme sur le compact $[0,1]$ et donc sur tout $\R^{+}$ car les $f_n$ sont positifs.

Or $\displaystyle |S(x)-S(0)|=|S(x)| = \sum_1^{+\infty} a_n\mathrm e^{-nx} |\sin(nx)|\leqslant \sum_1^{+\infty} a_n\mathrm e^{-nx} |nx|\leqslant x \sum_1^{+\infty} na_n \mathrm e^{-nx}$ or en séparant cette somme en deux (j'ai la flemme d'écrire) on montre que cette dernière expression peut être rendue aussi petite que l'on veut dès que $x$ est assez proche de $0$. Donc $S$ est continue en 0.

Par le théorème de Dini on a donc la convergence uniforme.