Convergence uniforme
dans Analyse
Bonjour,
comment étudier la convergence uniforme de la série $\displaystyle\sum_{n\in\N}f_n(x),\ $ avec $f_n(x)=\displaystyle\frac{e^{-nx}\sin(nx)}{\ln(n+1)}$.
comment étudier la convergence uniforme de la série $\displaystyle\sum_{n\in\N}f_n(x),\ $ avec $f_n(x)=\displaystyle\frac{e^{-nx}\sin(nx)}{\ln(n+1)}$.
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Réponses
Ajout timide qu'est ce qui se passe pour x<0.
Il semble si x<0 et x non multiple de $\pi$ alors la série diverge grossièrement . Mon raisonnement on fixe x<0 qui est non multiple de $\pi$, puisque $\sin(nx)$ est dense dans [-1,1], alors $\limsup |f_n(x)|=+\infty$ donc $f_n(x)$ ne peut pas tendre vers 0
La charte du forum (A lire avant de poster) dit explicitement :
" Ne demandez pas à d'autres de faire des devoirs que vous n'avez pas le courage de faire vous-même. Par contre, si vous avez cherché sans succès et que vous exposez ce que vous avez tenté et les résultats déjà obtenus, il se trouvera sûrement quelqu'un pour donner un coup de pouce ou une piste..." (c'est moi qui souligne)
Pour l'instant, aucune participation mathématique de ta part, alors que MrJ et Gebrane t'ont aidé. juste un bout de phrase pour relancer l'aide ... C'est très insuffisant !
Si oui, y aurait-il une méthode plus directe pour procéder (je sais le faire par exemple si on a $x$ à la place de $\sin(nx)$, mais la méthode utilisée pour la majoration ne semble pas adaptable à ce cas).
Voilà mon travail pour cette question mais j'ai un problème dans le cas $x<0$, pour cela j'ai partagé. Je ne porte pas de question avant de l'essayer et ce n'est pas une question dans un devoir, mais plutôt une question j'ai recontré par hazard et que je voulais engager dans un dialogue.
Merci pour votre répense.
Peux-tu fournir les détails en mp ? Merci d'avance
Ton raisonnement est faux car ton reste ne tend pas vers $0$ uniformément en $x$.
Si tu avais à la place de $\sin nx$ seulement un $x$ comme a dit Mrj, alors d'accord car dans ce cas les $x$ s’éliminent par $e^{x}-1>x$.
La convergence de la série me paraît bien uniforme sur $[0;+\infty[$.
Notons: $\forall N \in \N^*,\: \forall x\geqslant0, \: \displaystyle R_N(x) = \sum_{n=N}^{+\infty}\dfrac{\mathrm e^{-nx}\sin (nx)}{\log(n+1)},\qquad S_N(x) =\sum_{n=N}^{+\infty} \mathrm e^{-nx}\sin (nx),\qquad T_n(x) =\sum_{n=N}^{+\infty} \mathrm e^{(-1 + \mathrm i)nx}.$
$\forall x>0, \:\: T_N(x) = \dfrac {\mathrm e^{(-1+\mathrm i)Nx}}{1-\mathrm e^{(-1+\mathrm i)x}}, \quad S_N(x) = \mathfrak {Im} (T_N(x) ) =$( ! plantage ) $\dfrac {\mathrm e^{-Nx}}2 \left(\sin (Nx) + \dfrac {\mathrm e^{-x}\sin x\: \cos(Nx)} {1-\mathrm e^{-x}\cos x}\right ).$
Comme le signale Jandri, que je remercie, dans un message ultérieur, le dénominateur est $1+\mathrm e^{-2x} - 2 \mathrm e^{-x}\cos x$, qui a la très mauvaise idée d'être un $ o (x)$ et il va donc falloir trouver autre chose pour conclure.
$ \forall x>0, \quad |S_N(x)| \leqslant \dfrac 12 \left(1 +\left| \dfrac {\mathrm e^{-x}\sin x}{1 - \mathrm e^{-x}\cos x}\right|\right).\qquad \exists A>0\:$ tel que $\:\: \forall x\geqslant 0, \forall N \in \N, \quad |S_N(x)|<A.$
Avec une transformation d' Abel opérée sur $R_N(x)$, cette majoration et la décroissance de la suite $\left(\dfrac 1{\log(n+1)}\right )_n$ conduisent à la convergence uniforme sur $[0;+\infty[$ de $(R_N)_N$ vers $0.$ [\s]
edit Merci jandri. À revoir tout ça . On est au point de depart.
Je trouve comme dénominateur $1-2e^{-x}\cos(x)+e^{-2x}$ et pas $2(1-e^{-x}\cos(x))$.
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{e^{-nx}\sin(nx)}{\ln(n+1)}=\ ??$$
En effet, si la suite $\displaystyle S_n(x) = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{\mathrm e^{-kx}\sin (kx)}{\log(k+1)}$ converge uniformément sur $[0,+\infty[$, à fortiori elle converge uniformément sur $[0,\pi]$ et par suite la limite $\displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty} \int_0^{\pi} S_n(x) dx$ existe.
Or un calcul d'intégrale donne $\displaystyle \int_0^{\pi} S_n(x) dx=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2k\ln(k+1)}\left(1-e^{-k\pi}(-1)^k \right)$
et il est évident que cette dernière somme diverge ce qui contredit l'hypothèse de départ.
Donc pas de convergence uniforme.
S'agit-il d'un problème de convergence localement uniforme ?
Regarde par toi-même ICI
Il est clair que la convergence de $(\sum a_n)$ est équivalente à la convergence normale de $(\sum f_n)$ sur $\R_+$.
La démonstration de raoul.S montre que si la convergence est uniforme alors la série $(\sum \dfrac{a_n}n)$ converge.
Réciproquement la convergence de la série $(\sum \dfrac{a_n}n)$ permet de démontrer que $S$ est intégrable sur $\R_+$ et que $\displaystyle\int_0^{+\infty}S(x)dx=\sum _{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{2n}$ mais cela n'entraine pas a priori la convergence uniforme de $(\sum f_n)$ sur $\R_+$.
Y a-t-il une condition simple sur $a_n$ équivalente à la convergence uniforme de $(\sum f_n)$ sur $\R_+$ ?
$$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\mathrm e^{-nx}\sin (nx)}{n}$$ pour une possible généralisation
quelqu'un peut-il m'expliquer le commentaire de cette page de cours :
Pourquoi la continuité "passe" alors que la CU "ne passe pas" ? cela vient d'où ?
Merci.
Source:maths-france.fr
Mais la CU entraine bien la continuité ?
> Il n'y a aucune raison que tu puisses en déduire une majoration uniforme pour tous les $x> 0$.
J'ignorais cela...ce n'est pas si trivial a priori !!
Une analogie avec une situation plus simple à comprendre : la fonction $x\mapsto \frac1x$ est bornée sur chaque $[a,\infty[$ pour $a>0$ mais elle n'est pas bornée sur $]0,\infty[$. Le truc c'est que la borne dépend de $a$. Et c'est pareil dans cette histoire de convergence uniforme : la vitesse de convergence uniforme dépend de $a$, donc la vitesse de convergence n'est plus uniforme en $x$ quand $x$ balaie $\bigcup_{a>0} [a,+\infty[$.
Alors, $\forall a>0, \sup\limits_{x\in[a,\infty[} |f_n(x)| = \frac1{na}\underset{n\to\infty}\longrightarrow 0$. Donc $f_n $ converge vers $0$ uniformément sur chaque $[a,\infty[$ pour $a>0$.
Et la définition de "$f_n $ converge vers $0$ uniformément sur $]0,\infty[$" est "$\sup\limits_{x\in{]0,\infty[}}|f_n(x)| \underset{n\to\infty}\longrightarrow 0$". Sauf que : $\forall n, \sup\limits_{x\in{]0,\infty[}}|f_n(x)| = +\infty$ ! Donc c'est mort, $f_n$ n'a aucune chance de converger uniformément sur $]0,\infty[$ vers 0 !
En effet posons $f_n(x):= a_n\mathrm e^{-nx}|\sin (nx)|$. La série $\displaystyle \left(\sum f_n\right)$ converge uniformément sur les intervalles du type $[a,+\infty[$ avec $a>0$ (facile à montrer). Donc $S(x) =\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x)$ est continue sur $]0,+\infty[$.
Si on montre que $S$ est continue en $0$ on pourra utiliser le théorème de Dini pour garantir la convergence uniforme sur le compact $[0,1]$ et donc sur tout $\R^{+}$ car les $f_n$ sont positifs.
Or $\displaystyle |S(x)-S(0)|=|S(x)| = \sum_1^{+\infty} a_n\mathrm e^{-nx} |\sin(nx)|\leqslant \sum_1^{+\infty} a_n\mathrm e^{-nx} |nx|\leqslant x \sum_1^{+\infty} na_n \mathrm e^{-nx}$ or en séparant cette somme en deux (j'ai la flemme d'écrire) on montre que cette dernière expression peut être rendue aussi petite que l'on veut dès que $x$ est assez proche de $0$. Donc $S$ est continue en 0.
Par le théorème de Dini on a donc la convergence uniforme.