$f$ est nulle

D'après le théorème de Stone-Weierstrass, toute fonction continue sur $[a,b]$ est limite uniforme d'une suite de fonctions polynômes ou il existe une fonction polynomiale qui approxime $f$ sur $[a,b]$
Soit $\epsilon>0$
Puisque $f$ est continue sur $[0,1]$, il existe une fonction polynomiale $p$ telle que $|f-p|<\epsilon$. (*)
Puisque la première égalité est vraie pour tout polynôme $P$,alors en particulier pour la fonction polynomiale $p$ elle est encore vraie.
Ainsi $\displaystyle \int_{0}^{1} f^2(x) \, \mathrm{d}x=\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)(f-p)(x) \, \mathrm{d}x$.
Comme $f$ est continue $[0,1]$ donc bornée par un réel $M>0$, et via (*) et en appliquant l'inégalité triangulaire, on a :$\displaystyle \int_{0}^{1} f^2(x) \, \mathrm{d}x \leq M \epsilon$.
Donc $\displaystyle \int_{0}^{1} f^2(x) \, \mathrm{d}x =0$ or $f^2$ est continue et positive alors $f^2=0$ d'où $f=0$