Série de fonctions

Bonsoir, j'aimerais votre aide sur mon corrigé svp. La correction de mon livre est différente de la mienne (ça arrive...), mais je veux surtout vérifier si la manière de résoudre la première question est correcte.

Pour $n \in \mathbb{N}$ et pour tout $x \in \mathbb{R_{+}}$, on pose : $U_{n}(x)=\arctan(n+x)-\arctan(n)$.
a- Etudier l'existence et la continuité de la fonction $S$ définie sur $\mathbb{R_{+}}$ par la relation $S(x)=\sum_{n=0}^\infty {U_{n}}(x)$.

On sait que pour tout $a,b \geq 0$, on a $\arctan(a)-\arctan(b)=\arctan(\frac{a-b}{1+ab})$. (édit)
Pour tout $n$ entier et $x$ réel positif, on a : $U_{n}(x)=\arctan(\frac{x}{1+n(n+x)})$, or $\arctan(y) \leq y$ pour tout réel $y$, alors on a :

$|U_{n}(x)|\leq \frac{x}{1+n(n+x)}$. Considérons la série numérique de terme général $W_{n}=\frac{x}{1+n(n+x)}$, avec $x>0$.
Cette série converge en utilisant le critère de Riemann et le critère de comparaison. Alors la série numérique de terme général $U_{n}(x)$ converge. On conclut que la série de fonctions converge simplement sur $\mathbb{R_{+}}$ vers $S$.

Pour la continuité.
Soit $a,b$ des réels avec $0 \leq a<b$, les fonctions $U_{n}$ sont continues sur $\mathbb{R_{+}}$ donc sur $[a,b]$.
On va montrer qu'il y a convergence normale sur $[a,b]$, donc uniforme ce qui nous permettra d'établir que $S$ est continue sur $\mathbb{R_{+}}$.
Pour tout $x \in [a,b],\ |U_{n}(x)|\leq \frac{b}{1+n(n+a)}$ et le membre de gauche est le terme général d'une série numérique convergente, donc il y a convergence normale de la série de fonctions sur tout segment $[a,b]$. La fonction $S$ est donc continue sur $[a,b]$. et puisque ceci est vrai pour tout $a,b\in \mathbb{R_{+}}$, on peut affirmer que $S$ est continue sur $\mathbb{R_{+}}$.

b- Déterminons la limite de $S$ en $+\infty$.

Les fonctions $U_{n}$ sont toutes croissantes, la fonction somme $S$ est donc croissante.
D'après le théorème de la limite monotone, $S$ admet une limite finie en $+\infty$ si et seulement si $S$ est majorée.
Par l'absurde, supposons que $S$ est majorée, alors il existe un réel $M>0$ tel que $S(x) \leq M$ pour tout $x \geq 0$.
On peut écrire que pour tout $N$ entier non nul, $\sum_{n=1}^N {U_{n}(x)} \leq M$ donc $\sum_{n=1}^N {\arctan(\frac{x}{1+n(n+x)})} \leq M$, en faisant tendre $x$ vers l'infini, on a $\sum_{n=1}^N {\arctan(\frac{1}{n})} \leq M$, or $\arctan(\frac{1}{n})$ est équivalent en $+\infty$ à $\frac{1}{n}$
donc la série numérique de terme général $\arctan(\frac{1}{n})$ diverge par comparaison. Ses sommes partielles tendent donc vers l'infini et ne sont pas majorées, c'est absurde. On peut conclure que $S$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$

c-La série de fonctions converge-t-elle uniformément au voisinage de $+\infty$
On suppose que c'est vrai et on arrive à une absurdité en utilisant le résultat de la question précédente.