Des intégrales !

Quentino37 · April 2021

Bonjour, j'avais initialement proposé ce problème dans un autre fil, mais il n'était pas dans le style de ce dernier.
J'ai donc créé un nouveau fil pour vous proposer ce problème. Voilà l'énoncé.

Calculez en fonction de $\lambda$ (qui est strictement positif) et de $n$ : \[\int_{\lambda}^{\lambda+1}D_ {n}(x)dx,
\] avec $D_{n}(x)$ une fonction telle que :
1) $D_{n}(x)$ est strictement croissante,
2) $D_{n}(1)=0$,
3) $D_{n}(x+1)=D_{n}(x)+\frac{1}{x^{n}}.$
$D_{n}(x)$ est définie pour tout $n$ strictement supérieur à 1 et $x$ strictement positif.
($n$ ; $x$ ; et $\lambda$ sont des réels).

marsup · April 2021

Ah oui, c'est des trucs à la Bohr-Mollerup, c'est ça ?

raoul.S · April 2021

Modulo des erreurs de calcul on devrait avoir : $\displaystyle \int_{\lambda}^{\lambda+1}D_ {n}(x)dx = -\frac{1}{(n-1)\lambda^{n-1}}+\xi(n)$

où $\xi$ est la fonction zêta.

En fait si je ne me trompe pas l'expression de $D_n$ pour $n$ entier est la suivante :

$\displaystyle D_n = \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\psi_{n-1}+\xi(n)$

avec $\psi_n$ la fonction polygamma (Quentino37 ton amour de la fonction gamma te trahit...B-)-)

PS. j'ai pris $n$ entier mais ça devrait marcher pour $n>1$ quelconque.

Quentino37 · April 2021

C'est la bonne réponse. (tu)
Par contre je ne savais pas qu'il y avait un rapport avec la fonction gamma !
Comment as-tu trouvé le résultat ?

marsup · April 2021

Il y a des trucs comme ça dans "fonctions d'une variable réelle" de Bourbaki.

(avec des sommes de Riemann) 120788

raoul.S · April 2021

@Quentino37 rien d'extraordinaire, j'ai vu passer la relation $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ dans le fil de gebrane et je me suis dit qu'en prenant le logarithme on obtenait $\ln(\Gamma(x+1))=\ln(x)+\ln(\Gamma(x))$ qui ressemble après quelques dérivations à la relation que vérifie ton $D_n$.

Du coup j'ai regardé si la fonction $\ln\circ \Gamma$ était connue et je suis tombé sur la page Wikipedia de la fonction polygamma. Ensuite j'ai pompé sans vergogne les propriétés de cette fonction pour calculer ton intégrale.

Mais poste tes calculs ils sont sûrement plus intéressants que les miens.

Quentino37 · April 2021

à... on peut la calculer SANS ça

J'avais une méthode plus simple(on n'utilise même pas la fonction polygamma)
je vais poster mes calculs

Quentino37 · April 2021

voila les calculs

raoul.S · April 2021

Astucieux.

Remarque : pour justifier que $\displaystyle \lim\limits_{y\to +\infty}\int_y^{y+1} D_n(x) dx = \xi(n)$ on peut utiliser le calcul de Fdp ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2226350,2226690#msg-2226690