L'équation différentielle $yy''-(y')^2=-y^2$
$y=f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que $y(0)=1,\ y'(0)=0,$ $$yy''-(y')^2=-y^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (E)
$$ Expliciter $y=f,$ en justifiant n'importe quelle opération sur $y.$
Bien sur par hypothèse on peut diviser par $y$ sur un voisinage de $0,$ pour la résoudre, mais cela est sur un voisinage de $0$ comme expliciter la solution sur $\mathbb{R}$ partout ?
$$ Expliciter $y=f,$ en justifiant n'importe quelle opération sur $y.$
Bien sur par hypothèse on peut diviser par $y$ sur un voisinage de $0,$ pour la résoudre, mais cela est sur un voisinage de $0$ comme expliciter la solution sur $\mathbb{R}$ partout ?
Réponses
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Que trouves-tu en résolvant formellement?
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Bonjour,
Une idée : Pour résoudre $y'=y$ on est confronté au même problème "a-t-on le droit de diviser par $y$ ?". Et ce qu'on fait c'est qu'on pose $y_0$ une solution évidente d'expression connue et on cherche à montrer que $(yy_0^{-1})'=0$. Tu peux essayer ici, ça marche peut-être (je n'ai pas essayé). Ou peut-être une variante qui fait intervenir des dérivées secondes.
Edit : Vouloir $(yy_0^{-1})'=0$ est peu optimiste. Un objectif plus réaliste serait une trouver une équation différentielle vérifiée par $(yy_0^{-1})'$. -
$$y(x)=e^{\frac {-x^2}2}$$
Plait-il ?Le 😄 Farceur -
Olala gebrane https://makeagif.com/i/L4aGxS B-)-
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Mais Raoul comment tu as su que j'ai fait deux coups de revolver
Coups 1 on pose u=y'
Coups 2 On pose v=u^2
L'équation est pliée comme équation linéaire d'ordre 1
C'était un pur hasard.Le 😄 Farceur -
Tu es diabolique Raoul. Un seul de ton revolver laser en fait suffit.Le 😄 Farceur
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Bonjour,
Je ne vois pas en quoi vous avez répondu à la question. -
On se lançait des fleurs...
Ceci dit si gebrane tombe sur équation linéaire d'ordre 1 il ne devrait plus y avoir de problème de division par 0. -
On échangeait nos revolvers...
Ceci dit si raoul tombe sur équation linéaire d'ordre 1 , en intégrant $\displaystyle \left(\frac{y'}{y}\right)'=\frac{yy''-y'^2}{y^2}=-1$
YvesM, on te laisse les justifications mathématiquesLe 😄 Farceur -
Autre possibilité à la va-vite, car je m’aperçois que je n'arrive pas à m'en sortir avec la méthode de Calli dans ce cas :
via la méthode ci-dessus on montre facilement que la "solution générale" est $x\mapsto C_1e^{-\frac{1}{2}x^2+C_2x}$ avec $C_1,C_2\in \R$ des constantes.
Pour vérifier que toute solution sur $\R$ entier (sauf la solution nulle) est de cette forme, on montre que si $y$ est une solution sur $\R$ entier qui s'annule en un point alors $y^{-1}(0)$ est un ouvert-fermé, donc est égal à $\R$ tout entier.
$y^{-1}(0)$ est évidemment fermé et pour montrer qu'il est ouvert on suppose qu'il existe $x_0\in y^{-1}(0)$ qui n'est pas un point intérieur. Vu qu'on peut s'approcher de $x_0$ avec des $x$ tels que $y(x)\neq 0$ et qu'au voisinage de chacun des ces $x$ il existe une solution locale de la forme $x\mapsto C_1*e^{-\frac{1}{2}x^2+C_2x}$ on devrait arriver à une contradiction... il faudrait bien l'écrire avec des $\varepsilon$ etc.
Mais bon peut-être que je raconte des salades... -
Vu comment carle1 pose la question, je pense qu’il savait résoudre formellement l’équation, mais il se demande comment il faut justifier, ce qui ne me paraît pas trivial.
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Soit $x \mapsto y(x)$ deux fois dérivable sur $\mathbb R$, telle que : $\forall x \in \mathbb R$, $y(x) y''(x)-y'(x)^2=-y(x)^2$, $y(0)=1$, $y'(0)=0$.
Soit $I$ un intervalle contenant $0$ et tel que pour tout $x \in I$, $y(x) \neq 0$ (il existe de tels intervalles). Pour $x \in I$, on a : $y(x)=e^{-\frac {x^2}2}$, comme il a été dit plus haut.
Si l'ensemble des $x \ge 0$ tels que $y(x)=0$ n'était pas vide, cet ensemble aurait un plus petit élément $x_0$, et l'on aurait $x_0>0$.
Pour tout $x \in [0, x_0[$, on aurait : $y(x)=e^{-\frac {x^2}2}$. Alors $\lim_{x \rightarrow x_0, x<x_0}=e^{-\frac {x_0^2}2}>0$, impossible car cette limite devrait être $y(x_0)=0$.
On en déduit que $y(x) \neq 0$ pour tout $x \ge 0$.
On démontre de même que $y(x) \neq 0$ pour tout $x \le 0$.
Ainsi, $y(x) \neq 0$ pour tout $x \in \mathbb R$, et donc $y(x)=e^{-\frac {x^2}2}$ pour tout $x \in \mathbb R$.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
La méthode suggérée par Calli est intéressante. Elle consiste à introduire de force la solution que l'on souhaite, qui est : $y(x)=e^{-\frac {x^2}2}$.
On peut poser : $z(x)=e^{\frac {x^2}2} y(x)$, fonction deux fois dérivable, telle que : $z(0)=1$, $z'(0)=0$. Cette fonction $z$ satisfait à l'équation différentielle $zz''-z'^2=0$, plus simple que l'équation différentielle initiale, mais encore embêtante car on veut encore diviser par $z^2$, et l'on ne sait toujours pas si c'est permis. On peut la traiter par la méthode de mon dernier message, mais alors on n'a rien gagné.
Bonne journée.
Fr. Ch.
[small]C’n’était pas la peine (bis)
Non pas la peine, assurément
De changer de gouvernement ![/small] -
Chaurien, j'étais justement en train d'essayer d'appliquer la méthode que j'avais proposé et je suis tombé sur le même $zz''-z'^2=0$. Donc cette méthode marche parfois, mais apparemment pas ici.
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Bonjour @Mrj
Je crois que ce message m'est destiné http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2228324,2228494#msg-2228494
La question de carl se compose en deux parties
1) Existence d'une solution définie sur tout $\R$
2) Unicité des solutions sur $\R$
Moi j'ai répondu à la question 1 car carl n'a pas réagi à ta question http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2228324,2228330#msg-2228330
Lui il propose dans son message de justifier les deux points 1 et 2 seulement par le point 1 en justifiant chaque étapeLe 😄 Farceur -
Chaurien, c'est bon, je viens de voir mon erreur de français et compris ta preuve maths , Youppi
MerciLe 😄 Farceur -
Bonjour à tous.
Une solution générale de l'équation est $x \to e^{-x^2/2}$ (transformé de Fourier d'une loi normale). Pour la résoudre, on pourra diviser par $y$ et d'obtenir la dérivée d'un quotient, mais bien sur il faut justifier pourquoi $y(x) \neq 0, \forall x.$
@Calli, en utilisant la methode variationelle $y=e^{-x^2/2}u$ on obtient $uu''=(u')^2,$ mais rien n'a changé (pour d'autres EDO - linéaires - cette methode nous garantit une solution).
@Chaurien votre methode est interessante, d'introduire $x_0 =\inf \{x,y(x)=0\}$ ($\inf \emptyset =+\infty$), et de résoudre $(E)$ sur $[0,x_0[.$ -
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Zestiria, oui, j'avais regardé aussi, mais ils donnent des solutions « à l'ancienne », en divisant par $y^2$ sans se soucier de la légitimité de cette division. Tout ceci a déjà été dit dans les messages précédents, notamment par Gebrane. Il me semble avoir complété la solution. Êtes-vous d'accord ?
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Chaurien : oui. (tu)
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Chaurien je suis d'accord
S'il n'y avait pas Chaurien au forum, il faudait l'inventer.Le 😄 Farceur -
Que pensez vous de l'approche suivante:
il existe $\delta_1>0$ tel que pour tout $0 \leq x \leq \delta_1,$ $$y(x)=e^{-x^2/2} \ \ \ \ \ \ \ (1)$$
$y(\delta_1)>0,$ de nouveau par continuité de $y$ en $\delta_1$ il existe $\delta_2>\delta_1$ tel que sur l'intervalle $[0,\delta_2[,$ $(1)$ est vérifiée, et on itère....
Peut etre, on a une récurrence à prouver - construction de proche en proche.
Par exemple de verifier que pour tout $k \in \mathbb{N},\forall x \in [k\delta_1,(k+1)\delta_1],y(x)\neq 0$ soit de verifier que pour tout $k \in \mathbb{N},\forall x \in [k\delta_1,(k+1)\delta_1],y(x)=e^{-x^2/2}.$ (pour $k=0,$ cela est vrai, il reste de la vérifier a l'ordre $k$.) -
@carle1 je pense que la façon d'écrire rigoureusement ton idée est justement celle de Chaurien http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2228324,2228560#msg-2228560
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Chouette cette exercice
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Bonsoir etanche, puisque tu aimes, peux-tu m'aider pour celle-ci ?
$$y y'' - (y')^2 + y' = 0,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0.
$$ On voit que la fonction nulle est une solution sur $\mathbb R$ mais est-ce que c'est la seule sur $\mathbb R$ et comment le prouver ?
Merci d'avance etanche.
zestiria avait mal posé la question sur ME, j'ai reposé la question https://math.stackexchange.com/questions/4115306/uniqueness-of-solution-yy-y2-y2-and-y0-1-y0-0?noredirect=1#comment8509544_4115306Le 😄 Farceur -
Bonjour,
Si la fonction est identiquement nulle, ...
Si la fonction est constante, elle est identiquement nulle par une condition initiale.
Sinon, il existe un intervalle non réduit à un singleton autour de $a$ tel que $y(a)>0$. Sur cet intervalle $y(x)={e^{c x}-1\over c}$ avec $c$ une constante réelle non nulle. Cette fonction est solution avec $y(0)=0.$ Cette fonction de s’annule jamais sauf en $0$. On peut donc élargir d’intervalle jusqu’à qu’il contient $0$. Mais alors contradiction avec $y’(0)=0.$
De même pour $y(a)<0.$ -
YvesM
IL semble que tu prétends
ce qui est faux, prendre y=0 sur $]-\infty,1]$ et y=x-1 sur $[1,+\infty]$Si la fonction n'est pas constante alors il existe un intervalle non réduit à un singleton autour de a tel que y(a)>0Le 😄 Farceur -
YvesM il faut préciser la quantification que tu mets sur a, si je comprends cette fois ci tu disSi la fonction n'est pas constante sur $\mathbb R$ alors il existe $a\in \mathbb R$ et un intervalle non réduit à un singleton autour de a tel que y(a)>0
C'est faux, tu prends y=-1 sur $]-\infty,1]$ et $y=-x$ sur $[1,+\infty[$Le 😄 Farceur -
Bonjour,
Tu n’as pas lu mon message ou quoi ?
J’ai écrit : De même pour $y(a)<0$. -
Gebrane,
depuis le temps, tu devrais savoir qu'un nombre non nul est strictement positif ... sauf s'il est strictement négatif ;-)
Cordialement. -
J'ai une mauvaise habitude , je lis un message phrase par phrase. et je ne passe à la deuxième phrase que si je suis convaincu par ce qui précéde.
YvesM tu es un physicien et tu viens sur ce forum dans le seul but d'apprendre les maths, ( tu l'as dit un jour) , je jouais le rôle de sceptique. je continue ?Le 😄 Farceur -
Bonjour,
Disons que des fois tu es plus pertinent.
Et ce n’est pas mathématique de lire phrase par phrase. Tu devrais remettre en question ton approche.
Mon raisonnement est qu’une fonction numérique définie sur tous les réels et non identiquement nulle possède au moins une valeur strictement positive ou strictement négative. Je traite un cas, plus l’autre.
PS : Je viens sur le forum pour apprendre le français et non pas les maths. Les maths sont un prétexte. -
Ok je passe à la deuxième phrase
c'est faux, on montrer plutot que $y(x)={e^{c_1 x +c_2}-1\over c_1}$ il y a deux constantes de libresSur cet intervalle $y(x)={e^{c x}-1\over c}$ avec c une constante réelle non nulleLe 😄 Farceur -
Bonjour,
C’est vrai et tu as encore dit une bêtise (tu fais une collection ce dimanche). Lis la phrase suivante. La fonction $y$ solution doit vérifier $y(0)=0$ et l’on peut donc imposer cette condition. -
donc je devrais lire jusqu’à la 3eme phrase ( je me distrais en ce dimanche avec ce ciel gris qui me déprime ). Ok
Je regarde en tout le reste pour confirmer ton raisonnementLe 😄 Farceur -
Bonjour,
Je reconnais que la rédaction n’est pas rigoureuse. Je veux bien une aide sérieuse.
Le raisonnement c’est que si la fonction solution $y$, donc définie sur tous les réels, continue et dérivable, n’est pas identiquement nulle, il existe $a>0$ tel que $y$ est de signe constant sur $[0,a]$ sans s’annuler sur $]0,a]$ OU sur $[-a,0]$ sans s’annuler sur $[-a,0[.$ Sur cet intervalle la fonction est de la forme $(e^{c x}-1)/c$ avec $c$ non nulle qui assure $y(0)=0.$ Mais alors la dérivée en $0$ ne peut pas être nulle (puisqu’elle vaut $1$ à droite OU à gauche) : contradiction. -
Je reviens à la charge , je ne comprends pas ton raisonnement.
je recommence
OkSi la fonction n'est pas constante sur $\mathbb R$ alors il existe $a\in \mathbb R$ et un intervalle I non réduit à un singleton autour de a tel que $y(a)\neq 0$, supposons par exemple $y(a)>0$
dans cet intervalle on a la forme générale de y :
$$(*)\quad \forall x\in I,\quad y(x)={e^{c_1 x +c_2}-1\over c_1}$$
apres tu me dis, puisque $y(0)=0$ alors $y(x)={e^{c x }-1\over c}$
Il me semble dans cette déduction que tu supposes que $0\in I$ pour déduire $c_2=0$ mais rien nous dit que ton $I$ contient 0 pour pouvoir appliquer (*) en x=0
Comment tu réponds à ça ? encore une bêtise de ma part ?
edit j'ai envoyé avant de constater ton nouveau envoiLe 😄 Farceur -
Bonjour,
Relis mon message juste au-dessus.
Dans mon message original je parle « d’élargir l’intervalle jusqu’à qu’il contient $0$ ». Mon message ci-dessus est plus clair. -
Ok, j'ai lu ton nouveau messagesi la fonction
solution $y$, donc définie sur tous les réels,
continue et dérivable, n’est pas identiquement
nulle, il existe $a>0$ tel que $y$ est de signe
constant sur $[0,a]$ sans s’annuler sur $]0,a]$
OU sur $[-a,0]$
c'est complètement faux! ce que tu peux dire si y n’est pas identiquement nulle, il existe un a tel que $y(a)\neq 0$ et par continuité il existe un intervalle contenant a tel que $y$ est de signe constant sur $I$, tu ne peux dire que c'est vraie sur $[0,a]$ ou $[-a,0]$Le 😄 Farceur -
Bonjour,
Proposition :
Il existe $a>0$ tel que $y$ ne s'annulle pas sur $[-a, 0[$ ou sur $]0,a].$
Démonstration :
La contraposée est : pour tout $a>0$, $y$ s'annulle sur $[-a, 0[$ et sur $]0,a].$ Comme $y(0)=0$, alors pour tout $a>0$, $y$ s'annule sur $[-a,a]$ : c'est donc la fonction identiquement nulle. Contradiction.
Non ? -
Non
Prenons cette phrase
ça signifie $\forall x\in [-a, 0[, y(x)\neq 0$ et la négation est $\exists x\in [-a, 0[, y(x)= 0$$y$ ne s’annule pas sur $[-a, 0[$Le 😄 Farceur -
Euh ... ce n'est pas la contraposée, mais la négation.
Et "s'annule sur" est à détailler pour savoir ce qu'on veut dire, "ne s'annule pas sur" a deux sens très différents ("n'est pas nulle partout sur" et "ne prend jamais la valeur 0 sur".
Cordialement. -
gerard ne te moque pas de YvesM si tu as une preuve donne laLe 😄 Farceur
-
Je ne me moque pas, je précise les mots. Tu l'as d'ailleurs fait toi-même en choisissant une version de "s'annule".
J'imagine que si j'intervenais en physique, il me ferait préciser mes hypothèses physiques. Ce qui est normal.
Cordialement. -
Je croyais que le problème était résolu...
-
gerard je voulais dire que ton Euh ...n'était pas utile , ça donne l'impression qu'on se moque. Dans mes réponses avec YvesM, j'utilise ces mots et on se comprend bien.
Tu peux aussi si tu veux réfléchir à la question et proposer une solutionLe 😄 Farceur
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