J'ai du mal à suivre. Quel est donc le nouveau problème ?
Gebrane, tu peux envoyer où tu veux une solution que tu as lue. ME c'est Mathematics Stack Exchange ?
Oui YvesM, c'est ce que j'ai compris de ce que tu voulais dire et ton nouveau raisonnement est faux.
YvesM le diable se cache dans les détails, c'est pourquoi : j'ai essayé de comprendre phrase par phrase ta démonstration
Je dis qu'une fonction numérique définie sur les réels, continue, nulle en $0$ et non identiquement nulle est nécessairement telle qu'il existe $a>0$ tel que cette fonction est non nulle sur $]0,a[$ OU tel que cette fonction est non nulle sur $]-a,0[.$
Tu as donné une démonstration pour : $\displaystyle y y" - (y')^2 + y^2 = 0$, $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$
mais un nouveau problème est proposé par @gebrane : $\displaystyle y y" - (y')^2 + y' = 0$, $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$
que j'ai essayé de démontrer à la main : montrer que la seule solution est identiquement nulle, mais je me suis planté sur une contraposée.
La solution générale sur un intervalle $I$ où la fonction $y$ ne s'annule pas (ne prend pas la valeur $0$) est : $\displaystyle y(x) = {e^{a x + b} - 1 \over a}$ avec $a \neq 0$ et $b$ réel.
Si $y$ n'est pas l'application nulle il existe $x_0$ tel que $y(x_0)\neq0$. On peut supposer $x_0>0$, le raisonnement est le même pour $x_0<0$.
Soit $I$ le plus grand intervalle contenant $x_0$ sur lequel $y$ ne s'annule pas.
Sur $I$ l'équation différentielle s'écrit $\left(\dfrac{y'-1}y\right)'=0$ d'où $y'=ay+1$ pour une certaine constante $a$.
Puisque $y(0)=0$ il existe $x_1=\inf(I)\geq0$.
$y(x_1)=0$, donc $y'(x_1)=1$ et par suite $x_1>0$ (puisque $y'(0)=0$) et $y(x)$ prend des valeurs négatives immédiatement à gauche de $x_1$.
En reprenant la même démarche, on obtient un $x_2\in]0,x_1[$ avec $y(x_2)=0$ et $y'(x_2)=1$. Cela contredit le fait que $y(x)<0$ pour $x_2<x<x_1$.
Jandri (tu)
Je confirme ta démonstration.
Pour plus de compréhension, peut être , il faut ajouter que
si $x_0>0$ forcement $y(x_0)>0$
si $x_0<0$ forcement $y(x_0)<0$
L'idée de Jandri de considérer le plus grand intervalle permet de résoudre la première équation différentielle rapidement.
Soit $x \mapsto y(x)$ deux fois dérivable sur
$\mathbb R$, telle que : $\forall x \in \mathbb
R$, $y(x) y''(x)-y'(x)^2=-y(x)^2$, $y(0)=1$,
$y'(0)=0$.
Puisque $y(0)>0$ , par continuité , il existe un intervalle ouvert contenant $0$ sur le quel $y > 0$ . Soit $]a,b[$ le plus grand intervalle contenant $0$ sur lequel $y>0$ . Sur $]a,b[$ $y(x)=e^{-\frac {x^2}2\quad }(*)$
Si $a\neq -\infty$, alors y(a)=0 et en passant à la limite quand $x$ tend vers $a^+$ dans (*), on aboutit à la contradiction $0=y(a)=e^{-\frac {a^2}2}>0$
Si $b\neq +\infty$, alors y(b)=0 et en passant à la limite quand $x$ tend vers $b^-$ dans (*), on aboutit à la contradiction $0=y(b)=e^{-\frac {b^2}2}>0$
Réponses
Chaurien , c'est un autre problème
Puis je donner ta solution sur ME de la question initiale ?
Gebrane, tu peux envoyer où tu veux une solution que tu as lue. ME c'est Mathematics Stack Exchange ?
mon Heu ... vient du fait que je m'immisce dans une conversation dont je n'étais pas participant.
Merci pour la permission , oui ME c'est c'est Mathematics Stack Exchange et le lien est https://math.stackexchange.com/questions/4115306/uniqueness-of-solution-yy-y2-y2-and-y0-1-y0-0?noredirect=1#comment8509662_4115306
Par " ne s'annule pas sur un intervalle " je veux dire " ne prend jamais la valeur zéro sur cet intervalle ".
YvesM le diable se cache dans les détails, c'est pourquoi : j'ai essayé de comprendre phrase par phrase ta démonstration
Quand tu dis c'est faux...
Je dis qu'une fonction numérique définie sur les réels, continue, nulle en $0$ et non identiquement nulle est nécessairement telle qu'il existe $a>0$ tel que cette fonction est non nulle sur $]0,a[$ OU tel que cette fonction est non nulle sur $]-a,0[.$
C'est faux ?
Oui, c'est faux. disons que c'est mal écrit.
@Chaurien :
Tu as donné une démonstration pour : $\displaystyle y y" - (y')^2 + y^2 = 0$, $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$
mais un nouveau problème est proposé par @gebrane : $\displaystyle y y" - (y')^2 + y' = 0$, $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$
que j'ai essayé de démontrer à la main : montrer que la seule solution est identiquement nulle, mais je me suis planté sur une contraposée.
La solution générale sur un intervalle $I$ où la fonction $y$ ne s'annule pas (ne prend pas la valeur $0$) est : $\displaystyle y(x) = {e^{a x + b} - 1 \over a}$ avec $a \neq 0$ et $b$ réel.
Soit $I$ le plus grand intervalle contenant $x_0$ sur lequel $y$ ne s'annule pas.
Sur $I$ l'équation différentielle s'écrit $\left(\dfrac{y'-1}y\right)'=0$ d'où $y'=ay+1$ pour une certaine constante $a$.
Puisque $y(0)=0$ il existe $x_1=\inf(I)\geq0$.
$y(x_1)=0$, donc $y'(x_1)=1$ et par suite $x_1>0$ (puisque $y'(0)=0$) et $y(x)$ prend des valeurs négatives immédiatement à gauche de $x_1$.
En reprenant la même démarche, on obtient un $x_2\in]0,x_1[$ avec $y(x_2)=0$ et $y'(x_2)=1$. Cela contredit le fait que $y(x)<0$ pour $x_2<x<x_1$.
Je confirme ta démonstration.
Pour plus de compréhension, peut être , il faut ajouter que
si $x_0>0$ forcement $y(x_0)>0$
si $x_0<0$ forcement $y(x_0)<0$
finalement $]a,b[=\mathbb R$
( Merci Jandri, question corrigée)
Pour $\displaystyle y y" - (y')^2 + y' = 0$, $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$ la source était https://math.stackexchange.com/questions/95811/general-solution-of-yy-y2-y-0?noredirect=1&lq=1
Je crois que j'ai compris l'idée. Ne reste qu'à proposer un exercice (pas trop difficile).
Tout d'abord on montre, en utilisant $y(0)=0$, que $(yy')^2=\dfrac23y^3$ donc $y\geq0$.
Si $y$ n'est pas la fonction nulle il existe un intervalle $I$ sur lequel on a $y'=\pm \sqrt{2y/3}$.
On en déduit que $y(x)=\dfrac16(x-a)^2$ sur $I$ et que $I$ est au maximum $]-\infty,a[$ ou $]a,+\infty[$.
On prolonge en $a$ avec $y(a)=y'(a)=0$ et avec $y''(a)=\dfrac13>0$ on obtient que nécessairement $y(x)=\dfrac16(x-a)^2$ sur $\R$ et enfin que $a=0$.