L'équation différentielle $yy''-(y')^2=-y^2$

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Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Chaurien dit a écrit:
    Je croyais que le problème était résolu...

    Chaurien , c'est un autre problème
    Puis je donner ta solution sur ME de la question initiale ?
    Le 😄 Farceur


  • Chaurien
    Chaurien
    J'ai du mal à suivre. Quel est donc le nouveau problème ?
    Gebrane, tu peux envoyer où tu veux une solution que tu as lue. ME c'est Mathematics Stack Exchange ?
  • gerard0
    gerard0
    Gébrane,

    mon Heu ... vient du fait que je m'immisce dans une conversation dont je n'étais pas participant.
  • gebrane
    gebrane
    Chaurien c'est ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2228324,2229998#msg-2229998

    Merci pour la permission , oui ME c'est c'est Mathematics Stack Exchange et le lien est https://math.stackexchange.com/questions/4115306/uniqueness-of-solution-yy-y2-y2-and-y0-1-y0-0?noredirect=1#comment8509662_4115306
    Le 😄 Farceur


  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Par " ne s'annule pas sur un intervalle " je veux dire " ne prend jamais la valeur zéro sur cet intervalle ".
  • gebrane
    gebrane
    Oui YvesM, c'est ce que j'ai compris de ce que tu voulais dire et ton nouveau raisonnement est faux.
    YvesM le diable se cache dans les détails, c'est pourquoi : j'ai essayé de comprendre phrase par phrase ta démonstration
    Le 😄 Farceur


  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Quand tu dis c'est faux...

    Je dis qu'une fonction numérique définie sur les réels, continue, nulle en $0$ et non identiquement nulle est nécessairement telle qu'il existe $a>0$ tel que cette fonction est non nulle sur $]0,a[$ OU tel que cette fonction est non nulle sur $]-a,0[.$

    C'est faux ?

    Oui, c'est faux. disons que c'est mal écrit.
  • gebrane
    gebrane
    Chaurien pour cette nouvelle équation ?
    Le 😄 Farceur


  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    @Chaurien :

    Tu as donné une démonstration pour : $\displaystyle y y" - (y')^2 + y^2 = 0$, $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$

    mais un nouveau problème est proposé par @gebrane : $\displaystyle y y" - (y')^2 + y' = 0$, $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$

    que j'ai essayé de démontrer à la main : montrer que la seule solution est identiquement nulle, mais je me suis planté sur une contraposée.

    La solution générale sur un intervalle $I$ où la fonction $y$ ne s'annule pas (ne prend pas la valeur $0$) est : $\displaystyle y(x) = {e^{a x + b} - 1 \over a}$ avec $a \neq 0$ et $b$ réel.
  • Chaurien
    Chaurien
    Hélas pour l'instant je ne vois pas.
  • jandri
    jandri
    Si $y$ n'est pas l'application nulle il existe $x_0$ tel que $y(x_0)\neq0$. On peut supposer $x_0>0$, le raisonnement est le même pour $x_0<0$.
    Soit $I$ le plus grand intervalle contenant $x_0$ sur lequel $y$ ne s'annule pas.
    Sur $I$ l'équation différentielle s'écrit $\left(\dfrac{y'-1}y\right)'=0$ d'où $y'=ay+1$ pour une certaine constante $a$.
    Puisque $y(0)=0$ il existe $x_1=\inf(I)\geq0$.
    $y(x_1)=0$, donc $y'(x_1)=1$ et par suite $x_1>0$ (puisque $y'(0)=0$) et $y(x)$ prend des valeurs négatives immédiatement à gauche de $x_1$.

    En reprenant la même démarche, on obtient un $x_2\in]0,x_1[$ avec $y(x_2)=0$ et $y'(x_2)=1$. Cela contredit le fait que $y(x)<0$ pour $x_2<x<x_1$.
  • gebrane
    gebrane
    Jandri (tu)
    Je confirme ta démonstration.
    Pour plus de compréhension, peut être , il faut ajouter que
    si $x_0>0$ forcement $y(x_0)>0$
    si $x_0<0$ forcement $y(x_0)<0$
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    L'idée de Jandri de considérer le plus grand intervalle permet de résoudre la première équation différentielle rapidement.
    Soit $x \mapsto y(x)$ deux fois dérivable sur
    $\mathbb R$, telle que : $\forall x \in \mathbb
    R$, $y(x) y''(x)-y'(x)^2=-y(x)^2$, $y(0)=1$,
    $y'(0)=0$.
    Puisque $y(0)>0$ , par continuité , il existe un intervalle ouvert contenant $0$ sur le quel $y > 0$ . Soit $]a,b[$ le plus grand intervalle contenant $0$ sur lequel $y>0$ . Sur $]a,b[$ $y(x)=e^{-\frac {x^2}2\quad }(*)$
    • Si $a\neq -\infty$, alors y(a)=0 et en passant à la limite quand $x$ tend vers $a^+$ dans (*), on aboutit à la contradiction $0=y(a)=e^{-\frac {a^2}2}>0$
    • Si $b\neq +\infty$, alors y(b)=0 et en passant à la limite quand $x$ tend vers $b^-$ dans (*), on aboutit à la contradiction $0=y(b)=e^{-\frac {b^2}2}>0$


    finalement $]a,b[=\mathbb R$
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    Une autre $$\displaystyle y''y + (y')^2 - y = 0,\, y(0) = 0\, y'(0) = 0$$ Démontrer que l’équation admet une unique solution non triviale sur $\R$ ( source https://math.stackexchange.com/questions/2490820/general-solution-of-yy-y2-y-0?noredirect=1
    ( Merci Jandri, question corrigée)
    Pour $\displaystyle y y" - (y')^2 + y' = 0$, $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$ la source était https://math.stackexchange.com/questions/95811/general-solution-of-yy-y2-y-0?noredirect=1&lq=1
    Le 😄 Farceur


  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Je crois que j'ai compris l'idée. Ne reste qu'à proposer un exercice (pas trop difficile).
  • jandri
    jandri
    Pour la dernière équation proposée par gebrane il y a au moins deux solutions sur $\R$ : $y=0$ et $y=\dfrac{x^2}6$.
  • jandri
    jandri
    Je trouve qu'il n'y a pas d'autres solutions.

    Tout d'abord on montre, en utilisant $y(0)=0$, que $(yy')^2=\dfrac23y^3$ donc $y\geq0$.

    Si $y$ n'est pas la fonction nulle il existe un intervalle $I$ sur lequel on a $y'=\pm \sqrt{2y/3}$.

    On en déduit que $y(x)=\dfrac16(x-a)^2$ sur $I$ et que $I$ est au maximum $]-\infty,a[$ ou $]a,+\infty[$.

    On prolonge en $a$ avec $y(a)=y'(a)=0$ et avec $y''(a)=\dfrac13>0$ on obtient que nécessairement $y(x)=\dfrac16(x-a)^2$ sur $\R$ et enfin que $a=0$.
  • gebrane
    gebrane
    Jandri ton minutieux calcul, me fascine. Merci pour le signalement de l'erreur.
    Le 😄 Farceur


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