Développement limité
Bonjour à tous,
On pose $f(x)=\frac{x}{2}+\frac{x}{e^x-1}=\frac{x}{2}coth(\frac{x}{2})$ et on souhaite exprimer le développement limité de $f$ à l'ordre $n$ en $0$ à l'aide des nombres de Bernoulli $b_k$ (pour montrer que les nombres de Bernoulli d'indice impairs sont nuls). Voilà ce que j'ai fait.
En faisant le dl en $0$ à l'ordre $3$ puis $4$ puis $5$, on voit que au voisinage de $0$, $\frac{x}{e^x-1}=\frac{b_0x^0}{0!}+\frac{b_1x}{1!}+\frac{b_2x^2}{2!}+\cdots+\frac{b_kx^k}{k!}+\omicron(x^n)$ donc $\frac{x}{e^x-1}=\sum_{k=0}^{n} \frac{b_kx^k}{k!}+\omicron(x^n)$, mais ça, je n'arrive pas à le démontrer.
On en déduit après qu'au voisinage de $0$, $f(x)=1+\sum_{k=2}^{n} \frac{b_kx^k}{k!}+\omicron(x^n)$.
Pourriez-vous me donner une indication pour obtenir le développement limité recherché ?
Merci
On pose $f(x)=\frac{x}{2}+\frac{x}{e^x-1}=\frac{x}{2}coth(\frac{x}{2})$ et on souhaite exprimer le développement limité de $f$ à l'ordre $n$ en $0$ à l'aide des nombres de Bernoulli $b_k$ (pour montrer que les nombres de Bernoulli d'indice impairs sont nuls). Voilà ce que j'ai fait.
En faisant le dl en $0$ à l'ordre $3$ puis $4$ puis $5$, on voit que au voisinage de $0$, $\frac{x}{e^x-1}=\frac{b_0x^0}{0!}+\frac{b_1x}{1!}+\frac{b_2x^2}{2!}+\cdots+\frac{b_kx^k}{k!}+\omicron(x^n)$ donc $\frac{x}{e^x-1}=\sum_{k=0}^{n} \frac{b_kx^k}{k!}+\omicron(x^n)$, mais ça, je n'arrive pas à le démontrer.
On en déduit après qu'au voisinage de $0$, $f(x)=1+\sum_{k=2}^{n} \frac{b_kx^k}{k!}+\omicron(x^n)$.
Pourriez-vous me donner une indication pour obtenir le développement limité recherché ?
Merci
Réponses
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Quelle est ta définition des nombres de Bernoulli ? Pour moi, c'est précisément leur définition !
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Je prends par définition des nombres de Bernoulli , les nombres générés par $\frac x{e^x-1}= \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{B_nx^n}{n!}$
Quel est ta définition de ces nombres ?
grillé par PoirotLe 😄 Farceur -
Dans l’exercice,$b_n=h^{(n)}(0)$, où $h$ est la fonction définie par $h(x)=\frac{x}{e^x-1}$.
Mon objectif était après d’utiliser la parité de $f$ pour montrer que les termes de degré impairs s’annulent et donc que les $b_{2k+1}$ aussi pour $k\geq1$. -
Avec cette définition des $b_n$, l’égalité que tu cherches à prouver est une évidence , non?Le 😄 Farceur
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Je n’ai pas vu les séries convergentes donc si le résultat évident que vous évoquez est en rapport avec ce que vous avez dit avant je ne sais pas.
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Bonsoir, il y a la définition par récurrence: si $n \in \mathbb{N}$ :
$$
\sum_{j=0}^n \binom{n+1}{j} B_j = n+ 1.
$$ Voir Arakawa, Ibukiyama et Kaneko: Bernoulli Numbers and Zeta Functions chez Springer.A demon wind propelled me east of the sun -
Je ne comprends pas, j'ai démontré précédemment que $\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}b_k=0$ donc je ne vois pas comment votre résultat est possible..
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N123456
Je ne comprends pas ton blocage. Écrit le dl de ton h en 0 à l 'ordre n par la formule de Mac LaurinLe 😄 Farceur -
Justement c’est la formule de Mac Laurin le blocage, je ne la connais pas.Peut-on l’obtenir à partir de la formule de Taylor ?
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Oui c’est un cas particulier de la formule de Taylor..
Merci pour votre aide! -
bonsoir, pour $n=0$, ta formule te donne $b_0=0$ mais le premier nombre de Bernoulli $B_0$ vaut 1. je pense que tu es dans un problème classique donné en math sup que j'ai dû rencontrer il y a entre 40 et 50 ans boulevard Saint Michel.A demon wind propelled me east of the sun
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g.b je ne sais pas comment tu as vu que son premier terme $b_0=0$, on a bien $\frac{x}{e^x-1}=1-\frac{1}{2}x+....,(x\to0)$Le 😄 Farceur
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Bonsoir, sa formule de récurrence pour $n=0$ donne $b_0=0$ et il me demande d'où je sors ma formule qui est à priori la bonne...Vu que l'on obtient un système triangulaire, le premier terme nul entraine la nullité du reste.A demon wind propelled me east of the sun
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Le développement en série entière et le développement limité ne sont pas des objets de même nature, mais ce sont tous deux des développements de Taylor, et leurs coefficients sont les mêmes. Comme définition des nombres de Bernoulli, on peut prendre un développement ou l'autre, au choix.
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Peut être je suis paumé mais je ne comprends pas toujours le message de gille benson ''sa formule de récurrence pour n=0 donne $b_0=0$ ''
Je rappelle comment l'auteur définit les $b_n$ http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2229404,2229522#msg-2229522Le 😄 Farceur -
Je fais référence à ceci : à mon avis, il y a une confusion entre division et soustraction...
Avec cette relation et $n=0$, on obtient $b_0 = 0$.
n12345 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2229404,2229728#msg-2229728A demon wind propelled me east of the sun -
Merci d'avoir ciblé le message. Je comprends maintenant.Le 😄 Farceur
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