Trigo circulaire et hyperbolique
Bonjour,
On se propose de montrer que pour x>0, sh(x) + sin(x) >= 2x.
Cela se démontre facilement avec les DL, toutefois l'emplacement de cet exercice dans le cursus de l'année me laisse supposer qu'il existe une autre façon de le montrer.
Quelqu'un pourrait-il me donner une indication?
Avec mes remerciements
FD
On se propose de montrer que pour x>0, sh(x) + sin(x) >= 2x.
Cela se démontre facilement avec les DL, toutefois l'emplacement de cet exercice dans le cursus de l'année me laisse supposer qu'il existe une autre façon de le montrer.
Quelqu'un pourrait-il me donner une indication?
Avec mes remerciements
FD
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Réponses
Étudie plutôt la fonction-différence.
Bon courage.
Fr. Ch.
Etude de la fonction $x\mapsto \sin(x) + \sinh(x) - 2x$, non ?
Cordialement.
Or de nos jours c'est devenu une mode de les y mettre.
Pourquoi ?
Il y a peut-être aussi la facilité d'écriture maintenant que l'on tape. Mais est-ce vraiment une mode ?
Cordialement.
Dans les livres d'un certain âge, on trouve des formules comme : $\sin(a+b)=\sin a \cos b+ \cos a \sin b$, avec des parenthèses là où il faut mais pas ailleurs.
Je ne sais si « mode » est le terme exact mais disons que ce parenthésage est une habitude rédactionnelle apparue récemment, et que pour ma part je n'adopte pas car je n'en vois pas la nécessité et je la trouve lourdingue et inélégante.
Ce n'est pas toi que je vise, j'ai remarqué ceci depuis quelque temps, et quand je recopie des formules dans une discussion, je supprime les parenthèses superflues, et je saisis l'occasion pour en parler.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Merci à tous. Merci à Chaurien pour ses remarques..
pour démontrer l'inégalité initiale tu considères la fonction f définie par $$f(x) = sh(x) + sin(x) - 2x$$
elle est définie quelle que soit x et elle est impaire en x
ce qui permet de limiter le champ d'étude à [0 ; +oo[
la fonction dérivée f'(x) = ch(x) +cos(x) - 2
et la fonction dérivée seconde est f''(x) = sh(x) - sin(x) qui est positive ou nulle (en zéro)
tu dresses le tableau des variations des fonctions f'(x) et f(x)
et du constates qu'effectivement la fonction f est positive ou nulle
cordialement