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Trigo circulaire et hyperbolique

DuvertDuvert
dans Analyse
Bonjour,

On se propose de montrer que pour x>0, sh(x) + sin(x) >= 2x.
Cela se démontre facilement avec les DL, toutefois l'emplacement de cet exercice dans le cursus de l'année me laisse supposer qu'il existe une autre façon de le montrer.

Quelqu'un pourrait-il me donner une indication?

Avec mes remerciements

FD

Réponses

  • ChaurienChaurien
    Ce n'est certainement pas un développement limité (vrai au voisinage de $0$) qui va te permettre de démontrer une propriété pour tout $x \ge 0$ !
    Étudie plutôt la fonction-différence.
    Bon courage.
    Fr. Ch.
  • gerard0gerard0
    Bonjour.

    Etude de la fonction $x\mapsto \sin(x) + \sinh(x) - 2x$, non ?

    Cordialement.
  • ChaurienChaurien
    Le message de gerard0 me suggère une petite remarque concernant l'écriture mathématique. Si vous regardez les livres ayant un certain âge, mettons cinq ans et plus, vous voyez que l'on ne met pas de parenthèse à $\sin x$, $\cos x$, $\ln x$, etc.
    Or de nos jours c'est devenu une mode de les y mettre.
    Pourquoi ?
  • gerard0gerard0
    Pour ma part, je les mets systématiquement depuis que j'ai eu à les enseigner. Mais j'écris sin 30°. En effet, l'écriture $\sin 1+x$ pourrait être mal interprétée. Et l'habitude de certains langages de programmation a conforté ce penchant.
    Il y a peut-être aussi la facilité d'écriture maintenant que l'on tape. Mais est-ce vraiment une mode ?

    Cordialement.
  • ChaurienChaurien
    On peut aussi penser au développement en série entière qui est formellement le même que le développement limité, mais qui, lui, est illimité, et à portée globale sur tout $\mathbb R_+$.
  • ChaurienChaurien
    gerard0, moi non plus je n'écrirai pas $\sin 1+x$. Si je veux ajouter $x$ à $\sin 1$, j'écrirai : $(\sin 1)+x$ ou : $x+ \sin 1$. Et si je veux le sinus de $1+x$, j'écrirai : $\sin (1+x)$.
    Dans les livres d'un certain âge, on trouve des formules comme : $\sin(a+b)=\sin a \cos b+ \cos a \sin b$, avec des parenthèses là où il faut mais pas ailleurs.
    Je ne sais si « mode » est le terme exact mais disons que ce parenthésage est une habitude rédactionnelle apparue récemment, et que pour ma part je n'adopte pas car je n'en vois pas la nécessité et je la trouve lourdingue et inélégante.
    Ce n'est pas toi que je vise, j'ai remarqué ceci depuis quelque temps, et quand je recopie des formules dans une discussion, je supprime les parenthèses superflues, et je saisis l'occasion pour en parler.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • DuvertDuvert
    Oui, évidemment. (Back to Basics !)
    Merci à tous. Merci à Chaurien pour ses remarques..
  • jean lismondejean lismonde
    bonjour

    pour démontrer l'inégalité initiale tu considères la fonction f définie par $$f(x) = sh(x) + sin(x) - 2x$$

    elle est définie quelle que soit x et elle est impaire en x
    ce qui permet de limiter le champ d'étude à [0 ; +oo[

    la fonction dérivée f'(x) = ch(x) +cos(x) - 2
    et la fonction dérivée seconde est f''(x) = sh(x) - sin(x) qui est positive ou nulle (en zéro)

    tu dresses le tableau des variations des fonctions f'(x) et f(x)
    et du constates qu'effectivement la fonction f est positive ou nulle

    cordialement
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