Convergence d'une série de fonctions

Pour établir la convergence simple, il faut que la série numérique de terme générale $u_{n}(1)$ converge et cela est possible ssi $\sum_{n}.
{a_{n}}$ converge.
Pour le cas où $x \in [0,1[$ , on n'a aucun problème.

Ah oui la suite est décroissant et positive donc d'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel $l \geq 0$.
Je vais regarder cette idée. Merci @Jandri

Merci @jandri.
Voici mon raisonnement.

Si $\ell=0$,
Pour tout $k \geq n+1$, par décroissance de $(a_{n})$, $a_{k}x^{k} \leq a_{n+1}x^{k}$, donc $0\leq R_{n}(x) \leq a_{n+1}x^{n+1}\leq a_{n+1}$.
Comme la suite $(a_{n})$ tend vers $0$ alors $a_{n+1}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Donc la suite de fonctions converge uniformément sur $[0,1]$

Si $\ell>0$, $\ \sup_{x \in [0,1]}(R_{n}(x)) \geq \ell \sup_{x\in [0,1]}(x^{n+1})=\ell>0$, donc on n'a pas converge uniforme sur $[0,1]$.