La condition que j'arrive à trouver est nécessaire car résulte d'une propriété du cours.
Mais elle n'est pas suffisante je pense.
En effet, si la série de fonctions converge uniformément sur $[0,1]$ alors la suite $(u_{n})_{n \geq 0}$ converge uniformément vers la fonction nulle cela est possible si $\frac{a_{n}}{n}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Je veux une condition suffisante de convergence uniforme, donc s'il est possible d'avoir une indication
Je ne vois pas trop @marsup, mais il faut d'abord s'assurer que pour le cas $x=1$ , la série numérique de terme général $u_{n}(1)$ converge, cela équivaut à dire que la série de terme général $a_{n}$ converge.
Pour établir la convergence simple, il faut que la série numérique de terme générale $u_{n}(1)$ converge et cela est possible ssi $\sum_{n}.
{a_{n}}$ converge.
Pour le cas où $x \in [0,1[$ , on n'a aucun problème.
Ah oui la suite est décroissant et positive donc d'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel $l \geq 0$.
Je vais regarder cette idée. Merci @Jandri
Si $\ell=0$,
Pour tout $k \geq n+1$, par décroissance de $(a_{n})$, $a_{k}x^{k} \leq a_{n+1}x^{k}$, donc $0\leq R_{n}(x) \leq a_{n+1}x^{n+1}\leq a_{n+1}$.
Comme la suite $(a_{n})$ tend vers $0$ alors $a_{n+1}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Donc la suite de fonctions converge uniformément sur $[0,1]$
Si $\ell>0$, $\ \sup_{x \in [0,1]}(R_{n}(x)) \geq \ell \sup_{x\in [0,1]}(x^{n+1})=\ell>0$, donc on n'a pas converge uniforme sur $[0,1]$.
Je rajoute une question 4)
Montrer qu'en cas de convergence uniforme de la série de fonctions sur $[0,1]$, la série $\sum_{n\geq 0}\frac{a_n-a_{n+1}}{n+2}$ est convergente.
@Bisam,
je ne vois pas bien l'intérêt de cette question 4 car la majoration $0\leq \frac{a_n-a_{n+1}}{n+2}\leq a_n-a_{n+1}$ entraine la convergence de la série dès que la suite $(a_n)$ est décroissante et positive (par télescopage).
Tu as parfaitement raison... j'ai posé une question inutile.
En fait, j'avais autre chose en tête, et j'espère que cette fois-ci je ne me trompe pas.
Voici la nouvelle question 4) : Montrer que si $f$ est la somme de la série entière alors \[\int_0^1 f =a_0-\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a_n-a_{n+1}}{n+2}\] (qu'il y ait convergence uniforme ou non).
Réponses
Mais elle n'est pas suffisante je pense.
En effet, si la série de fonctions converge uniformément sur $[0,1]$ alors la suite $(u_{n})_{n \geq 0}$ converge uniformément vers la fonction nulle cela est possible si $\frac{a_{n}}{n}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Je veux une condition suffisante de convergence uniforme, donc s'il est possible d'avoir une indication
{a_{n}}$ converge.
Pour le cas où $x \in [0,1[$ , on n'a aucun problème.
Je vais regarder cette idée. Merci @Jandri
Voici mon raisonnement.
Si $\ell=0$,
Pour tout $k \geq n+1$, par décroissance de $(a_{n})$, $a_{k}x^{k} \leq a_{n+1}x^{k}$, donc $0\leq R_{n}(x) \leq a_{n+1}x^{n+1}\leq a_{n+1}$.
Comme la suite $(a_{n})$ tend vers $0$ alors $a_{n+1}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Donc la suite de fonctions converge uniformément sur $[0,1]$
Si $\ell>0$, $\ \sup_{x \in [0,1]}(R_{n}(x)) \geq \ell \sup_{x\in [0,1]}(x^{n+1})=\ell>0$, donc on n'a pas converge uniforme sur $[0,1]$.
Montrer qu'en cas de convergence uniforme de la série de fonctions sur $[0,1]$, la série $\sum_{n\geq 0}\frac{a_n-a_{n+1}}{n+2}$ est convergente.
@Bisam, je ferai ça ce soir certainement :-D
je ne vois pas bien l'intérêt de cette question 4 car la majoration $0\leq \frac{a_n-a_{n+1}}{n+2}\leq a_n-a_{n+1}$ entraine la convergence de la série dès que la suite $(a_n)$ est décroissante et positive (par télescopage).
En fait, j'avais autre chose en tête, et j'espère que cette fois-ci je ne me trompe pas.
Voici la nouvelle question 4) : Montrer que si $f$ est la somme de la série entière alors \[\int_0^1 f =a_0-\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a_n-a_{n+1}}{n+2}\] (qu'il y ait convergence uniforme ou non).