Une jolie intégrale

Dedekind93: Après avoir cherché un peu sur M.E il ne semble pas connu de méthode réelle pour calculer cette intégrale.

Une autre intégrale du même type dont il ne semble pas, à ce jour, exister de calcul par des méthodes réelles.

Une idée la fonction a intégré est de la forme $\frac{1}{a^2+b^2}$ peut-être qu’on peut écrire l’intégrale sous la forme d’une intégrale double
et Fubini

La page MSE1 renvoie à la page MSE2

https://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Mathematik:_Bestimmte_Integrale

Ce Wiki est bien mais le calcul fait de cette intégrale utilise le théorème des résidus.

FDP, si tu réussi avec l'analyse réel alors chapeau. Il y a quand même un espoir avec P, une vue probabiliste ?

Tu as raison FDP, il s’intéresse à ce genre de trucs https://www.researchgate.net/profile/Olivier-Oloa

Gebrane: Et, je pense qu'il a un compte sur les mathématiques.net. B-)-

Chaurien: Si une solution "élémentaire" existe elle sera probablement astucieuse. Il faudrait sans doute commencer par trouver une expression de cette intégrale avec des bornes finies. Ce qui n'est déjà pas une mince affaire me semble-t-il.

Chaurien pour ton exercice peux-tu nous demontrer que $$\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}\frac{1}{x_{n}^{4}}=\frac{1}{350}$$

@gebrane peux-tu démontrer que $$\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n-1} \dfrac{\sqrt{1+x_n^2}}{x_n^4}=\dfrac{27}{2800} \quad ?$$

gebrane : $\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{x_k^2}\right)^2 = \left(\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{x_k^4}\right) + 2\sum_{1\leqslant k_1<k_2} \dfrac{1}{x_{k_1}x_{k_2}}$.
Or, d'après le lien de AoPS que j'ai posté plus haut : $\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{x_k^2} = \dfrac{1}{10}$ et $\displaystyle \sum_{1\leqslant k_1<k_2} \dfrac{1}{x_{k_1}x_{k_2}} = \dfrac{1}{280}$. D'où $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{x_k^4} = \dfrac{1}{10^2} - \dfrac{2}{280} = \dfrac{1}{350}$.

De même, en élevant au cube, à la puissance 4, etc. on doit pouvoir calculer $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{x_k^{2j}}$ pour tout $j\geqslant 1$.

@Gebrane
Désolé j'ai été grillé. Alors je te laisse prouver mon égalité.

Ces temps-ci je m'amuse avec les résidus, alors j'ai retrouvé la question posée par bd2017 : $\displaystyle \sum_{n=1}^{+ \infty } (-1)^{n-1} \dfrac{\sqrt{1+x_n^2}}{x_n^4}=\dfrac{27}{2800} $.
Rappelons que les $x_n$ sont définis, pour $n \in \mathbb N^*$, par : $\tan x_n=x_n$, $n \pi <x_n < n \pi + \frac {\pi}2$.
Cette question était adressée à Gebrane, mais celui-ci semble avoir pris des vacances, alors je m'y colle.
La partie embêtante c'est le calcul du résidu en $0$, qui demande un développement limité de $\sin z - z\cos z$ à la précision $o(z^7)$, et l'on trouve $\textrm{Res}(f,0)= \frac {27}{1400}$. C'est bon signe.
Le résidu en un pôle simple $\alpha \neq 0$ est, sans surprise : $\textrm{Res}(f,\alpha)= \frac 1{\alpha^4 \cos \alpha}$.
Si l'on définit toujours le cercle $ \Gamma _{n}=\{z~|~\left\vert z\right\vert =n\pi \}$, pour $n \in \mathbb N^*$, alors : $\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma _{n}}f(z)dz=\textrm{Res}(f,0)+2 \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }} \textrm{Res}(f,x_k )$.
J'ai fait observer par ailleurs que pour $|z| = n \pi$ on a : $|\cos z| \ge 1$ et $|\tan z| < 2$.
On en déduit : $\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \int_{\Gamma _{n}}f(z)dz=0$. La formule proposée en découle.
Bonne journée.
Fr. Ch.
16/07/2021