Différentielle produit scalaire

Thibault314 · April 2021

Bonjour, j'étudie un exercice où un détail m'échappe.

Pour $A$ matrice symétrique définie positive, on veut respoudre le système linéaire $Ax=b$.

On considère $\phi(x) = \frac{1}{2}<Ax,b>-<b,x>$.
On différentie, on trouve $\nabla \phi(X)= Ax-b$, et donc on se ramène à $\nabla \phi(X)=0$.

Mais je ne comprends pas le calcul de la différentielle, pour moi la forme linéaire de cette application est $<Ax,h> + <Ah,x>$...

Voyez vous mon erreur ?
Merci de votre aide,
Thibault

Poirot · April 2021

Rappelle-toi ce que veut dire que $A$ est symétrique !

Math Coss · April 2021

Dans la définition de $\phi$, tu dois vouloir dire $\frac12\langle Ax,x\rangle$ ?
Vu que $A$ est symétrique, \[\frac12\langle Ax,h\rangle+\frac12\langle Ah,x\rangle=\langle Ax,h\rangle.\](Par exemple, $\langle Ah,x\rangle=\langle x,Ah\rangle =x^{\mathsf{T}}Ah=x^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}h=(Ax)^{\mathsf{T}}h=\langle Ax,h\rangle$.)