Fonction gamma d'Euler : pourquoi -1?

On a un groupe, $\R^{+*}$, qui est le groupe multiplicatif d'un corps, $\R$ (enfin, la moitié dudit groupe mais ne pinaillons pas). Le point clé, c'est la mesure invariante par translation $\frac{\mathrm{d}t}{t}$, c'est-à-dire que si on fait le changement de variable $x=kt$, avec $k\in\R^{+*}$, on a $\frac{\mathrm{d}t}{t}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$. Bien plus naturel que $\mathrm{d}t$ pour $\R^{+*}$ !
On choisit par ailleurs un caractère additif du corps, c'est-à-dire le morphisme $\psi:\R\to\R^{+*}$, $t\mapsto\mathrm{e}^{-t}$. Pour chaque caractère multiplicatif, c'est-à-dire chaque morphisme $\chi:\R^{+*}\to\C^{+*}$, $t\mapsto t^z$, on peut alors former \[\Gamma(z)=\int_{\R^{+*}}\chi(t)\psi(t)\frac{\mathrm{d}t}{t}=\int_0^{+\infty}t^{z}\mathrm{e}^{-t}\frac{\mathrm{d}t}{t}.\] Pourquoi est-ce que c'est bien de voir les choses comme ça ? D'une part, cela présente la fonction gamma comme la transformée de Mellin de l'exponentielle. Or la transformation de Mellin est l'analogue de la transformation de Fourier pour le groupe $\R^{+*}$ : elle consiste à écrire une fonction comme « combinaison linéaire » de caractères du groupe ($t\mapsto t^z$ pour $\R^{+*}$ et Mellin, $t\mapsto\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$ pour $\R$ et Fourier) grâce à la transformation inverse.

D'autre part, la fonction gamma est une analogue réelle des sommes de Gauss. Prenons un nombre premier $p$, considérons le corps $\newcommand{\F}{\mathbf{F}}\F_p=\Z/p\Z$ et son groupe multiplicatif $\F_p^*$. La mesure de comptage est invariante par translation à gauche (c'est-à-dire que pour $A\subset\F_p^*$ et $k\in\F_p^*$, $|A|=|kA|$, où $kA=\{ka,\ a\in A\}$).
Étant donnés un caractère additif $\psi\in\mathrm{hom}(\F_p,\C^*)$ et un caractère multiplicatif $\chi\in\mathrm{hom}(\F_p^*,\C^*)$, on forme alors \[G(\chi,\psi)=\sum_{x\in\F_p^*}\chi(x)\psi(x).\]Eh bien oui, c'est la même expression (mais pas tout à fait les mêmes usages) !

La fonction gamma est définie pour tout nombre complexe de partie réelle strictement positive (ce demi-plan intervient souvent en analyse complexe).
Si on enlève le $-1$ c'est le demi-plan $y>-1$ qu'il faut considérer.

Il subsiste quelque chose de la vieille ecriture dans la malheureuse notation des polynomes de Laguerre $L_n^{\alpha}$ orthogonaux par rapport a $e^{-x}x^{\alpha}$.

bonjour

Euler était attaché à la simplicité et à la beauté des relations mathématiques qu'il découvrait
on connait par exemple la fascination qu'il éprouvait pour sa fameuse relation entre les 5 nombres : $e^{i\pi} + 1 = 0$

à propos de la fonction exponentielle f de base a > 0 telle que $f(x) = a^x$
il comprit qu'en prenant a = e obtenu avec la série numérique très rapidement convergente :

$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ...........+ \frac{1}{n!}+.......$

il obtiendrait une fonction telle que ses dérivées soient égales à elle-même
d'où l'intérêt mathématique de ce nombre e inconnu avant Euler
et qui fut adopté immédiatement par la communauté mathématique

concernant la fonction Gamma (baptisée ainsi plus tard par Legendre) Euler souhaitait garder la divergence pour x = 0
d'autre part il s'intéressait fortement à la limite pour n infini du produit :

$\frac{1}{n^x}(1 + x)(1 + \frac{x}{2})..........(1 + \frac{x}{n}).........$

limite qu'il souhaitait égale à 1 pour x nulle (comme pour l'exponentielle) d'où la relation

$\frac{1}{\Gamma(1+x)} = limite de \frac{1}{n^x}(1+x)(1+\frac{x}{2})............(1 + \frac{x}{n})..........$

Poirot rappelle la relation fonctionnelle de Riemann entre tzéta et Gamma

il convient de rappeler aussi le développement (pour x > - 1) qui concerne les mêmes fonctions :

$ln\Gamma(1 + x) = - \gamma.x + \frac{x^2}{2}Z_2 - \frac{x^3}{3}Z_3 + .............. +(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}Z_n + ...........$

qui pour x = 0 prend la valeur simple 0

cordialement

C'est Legendre qui a donné le nom et la définition de la fonction Gamma, sans doute pour la raison que donne marsup, singularité en $0$. Gauss a défini la fonction $\Pi : s \mapsto \int_0^{+\infty} t^{s}\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$, qu'on pourrait noter $\Pi(s)=s!$ car cette fonction $\Pi$ interpole la factorielle en personne et non décalée. La fonction Gamma a pris le dessus, Legendre l'a étudiée et tabulée. Voir par exemple : H. M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Academic Pres 1974, pp. 7-9.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Je pense qu'on a tort de parler de « fonction Gamma d'Euler ». Voici un article de 1959 qui donne l'histoire de cette question.
Bonne journée.
Fr. Ch.