Polynôme avec racine à multiplicité impaire

Code_Name
Code_Name
dans Analyse
Bonjour, soit $p$ un polynôme avec une racine de multiplicité $m$ en $\tilde x$.
J'aimerais montrer que $p$ change de signe autour de $\tilde x\iff \tilde x$ est une racine de multiplicité impaire.

L'idée je crois est d'écrire $$\begin{align*}
p(x) &=0+(x-\tilde x)^m\frac{p^{(m)}}{m!}(\tilde x)+O\left((x-\tilde x)^{m+1} \right ) \\
&= P(x)+R(x)
\end{align*}$$Pour le sens "$\impliedby$", on voit que $P$ change de signe autour de $\tilde x$ mais que dire tu terme restant $R$?

Pour le sens "$\implies$", on suppose par l'absurde que la multiplicité est paire, on utilise la même idée qu'en haut et on voit que $P$ ne change pas de signe autour de $\tilde x$ mais je ne suis encore pas sûr pour $R$...

Merci pour votre aide.

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    $P(x)=(x-a)^n Q(x)$ avec $a$ une racine de multiplicité $n\geq 1.$

    $P(a+x)=x^n Q(a+x).$ Comme $Q(a)\neq 0$, on peut supposer $Q(a)>0$. On a donc $P(a+x)$ du même signe que $x^n.$ Si le signe change autour de $a$, alors $n$ est impair. La réciproque est vraie. De même pour $Q(a)<0.$

    Non ?
  • Code_Name
    Code_Name
    Oui ca marche merci :-)
  • Poirot
    Poirot
    Tu pouvais quand même conclure avec ta méthode originale, et d'ailleurs le résultat se généralise de façon évidente aux fonctions $f$ de classe $\mathcal C^k$ au voisinage de $\tilde x$ vérifiant $f(\tilde x) = f'(\tilde x) = \dots = f^{(k-1)}(\tilde x) = 0$ et $f^{(k)}(\tilde x) \neq 0$. Il suffit de montrer, avec le développement limité comme ci-dessus et la définition d'un $o$, que $f(x)$ est du signe de $(x-\tilde x)^k f^{(k)}(\tilde x)$ pour $x$ suffisamment proche de $\tilde x$.
  • Code_Name
    Code_Name
    Bonjour Poirot, j'ai essayé avec les $o$ mais je n'ai pas réussi, mais je crois avoir réussi avec les $O$.

    J'utilise ma notation $$\begin{align*}

    p(x) &=(x-\tilde x)^m\frac{p^{(m)}}{m!}(\tilde x)+O\left((x-\tilde x)^{m+1} \right ) \\

    &= c_1 (x-\tilde x)^m+R(x) \\

    &= P(x)+R(x)

    \end{align*}$$Il suffit alors de montrer que le terme $R$ n'influe pas sur le signe de $p$ dans un voisinage de $\tilde x$, c-à-d que seul le signe de $P$ compte.

    Pour cela, il suffit de montrer que dans ce voisinage, on a $|R|<|P|$ car on a alors $$\begin{align*}
    \text{si }P>0: &\text{ si }R<0:P+R=|P|-|R|>0 \\
    &\text{ si } R>0: P+R>P-R=|P|-|R|>0
    \end{align*}$$Idem si $P<0$.

    Pour montrer cette affirmation, on remarque que par définition il existe une constante $C>0$ telle que $|R|\leq C(x-\tilde x)^{m+1}$.

    De plus, vu que $C(x-\tilde x)\to 0$ lorsque $x\to \tilde x$ on a que pour $\varepsilon =|c_1|$: $|C(x-\tilde x)|<|c_1|$ dans un voisinage de $\tilde x$.

    Donc $|C(x-\tilde x)^{m+1}|<|c_1(x-\tilde x)^m|$ dans ce voisinage.

    En d'autres termes, on a montré que $|R|<|P|$ dans un voisinage de $\tilde x$.
  • Poirot
    Poirot
    C'est ça (il te manque une valeur absolue au milieu, mais c'est un détail). Avec un $o((x-\tilde x)^m)$ c'est la même chose car pour $\varepsilon = \frac{|p^{(m)}(\tilde x)|}{2m!}$ tu as $|R(x)| < \varepsilon (x-\tilde x)^m$ pour $x$ suffisamment proche de $\tilde x$, et la fin coule toute seule. En fait c'est la démo que tu as faite, puisque tu t'es uniquement servi du fait que $O((x-\tilde x)^{m+1}) = o((x-\tilde x)^m)$. :-D
  • Code_Name
    Code_Name
    Je vois merci :-)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 0