Fonction à variation bornée

Bonsoir,
pour 2 réels $a$ et $b$ tels que $a\leq b$, on appelle $S(a,b)$ l'ensemble des subdivisions de $[a,b]$ d'au moins 2 termes. Pour toute fonction de $[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ et pour toute subdivision $\sigma=(t_0,t_1,\ldots,t_n)$, on pose $S(f,\sigma)=\sum_{k=0}^{n-1}|f(t_{k+1})-f(t_k)|$.
On appelle $E(f)=\{S(f,\sigma)\mid \sigma\in S(a,b)\}$ et on dit que $f$ est à variation bornée sur $[a,b]$ lorsque $E(f)$ est majoré et possède donc une borne supérieure. On appelle variation totale de $f$ sur $[a,b],\ V_{a,b}(f)= \sup E(f)$.

En fait, l'objectif de l'exo est de fabriquer une fonction continue qui n'est pas à variation bornée. On pose donc $f : [0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ définie par $f(0)=0$, $\forall n\geq 1,\ f(\frac{1}{n})=\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ et $\forall n\geq 1,\ f$ est affine sur $[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$.

J'ai montré que cette fonction était continue sur son intervalle de définition.
Pour $n\geq 1$, soit $\sigma_n=(\frac{1}{n}, \frac{1}{n-1},\ldots,\frac{1}{2},1)$. Montrer que $S(f,\sigma_n)\geq H_n$.
Je suppose qu'une fois qu'on a démontré cette égalité, il faut utiliser le fait que la série harmonique diverge vers plus l'infini pour montrer que $f$ n'est pas à variation bornée mais je n'ai pas réussi cette question...
Ce que j'ai fait.
\begin{align*}
S(f,\sigma_n)&=\sum_{k=0}^{n-2}\Big|f(\frac{1}{n-k-1})-f(\frac{1}{n-k})\Big|=\sum_{k=0}^{n-2}\Big|\frac{(-1)^{n-k}}{n-k-1}-\frac{(-1)^{n-k+1}}{n-k}\Big| \\
&=\sum_{k=0}^{n-2}\Big|\frac{(-1)^{n-k}(2(n-k)-1)}{(n-k-1)(n-k)}\Big|=\sum_{k=0}^{n-2} \frac{(2(n-k)-1)}{(n-k-1)(n-k)}\\
&=2\sum_{k=0}^{n-2}\frac{1}{n-k-1}-\sum_{k=0}^{n-2}\frac{1}{(n-k)(n-k-1)}=2H_{n-1}-\sum_{k=0}^{n-2}\frac{1}{(n-k)(n-k-1)}
\end{align*} Mais pas moyen de montrer que cette quantité est supérieure à $H_n$. Pourriez-vous me dire si je me suis perdu dans mes calculs de bourrin, s'il existe une méthode beaucoup plus simple ou bien si je suis sur la bonne voie ?

Merci beaucoup si vous prenez le temps de lire tout cela !