Inégalité avec deux variables

darbouka
darbouka
dans Analyse
Bonjour,
Je cherche à montrer que $h^2+k^2-hk \geq 0$ pour tous réels $h$ et $k$.
Quelqu'un pourrait-il me donner un coup de pouce?

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Polynôme du second degré.
  • Chaurien
    Chaurien
    Forme canonique.
  • gebrane
    gebrane
    La preuve que j'avais donné à mon prof , je pars de
    $$a^2+b^2\geq 0$$
    Le 😄 Farceur


  • darbouka
    darbouka
    Super! merci pour vos réponses.
  • gebrane
    gebrane
    darbouka peux-tu continuer mon idée ?
    Le 😄 Farceur


  • Poirot
    Poirot
    gebrane, tu voulais parler de $(a+b)^2 \geq 0$ non ?
  • JLT
    JLT
    Gebrane voulait sans doute dire que l'expression initiale peut s'écrire comme somme de deux carrés.
  • darbouka
    darbouka
    @ Gebrane,
    En fait je suis parti sur l'idée de YvesM et de Chaurien, ce qui me donne $h^2+k^2-hk = (h - \frac{k}{2})^2 + \frac{3k^2}{4}$, et on obtient une somme de deux carrés, qui est positive ou nulle.
    Pour ce qui est de ta méthode, je vais y réfléchir et je te dirais ce que ça m'inspire...
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    $k^2+h^2-h k={1\over 4}(h+k)^2+{3\over 4}(h-k)^2\geq 0.$
  • gebrane
    gebrane
    darbouka

    $h^2+k^2-hk \geq 0\iff 2\times (h^2+k^2-hk )\geq 0\iff ...$
    Le 😄 Farceur


  • darbouka
    darbouka
    @ Gebrane,

    $h^2+k^2-hk \geq 0\iff 2\times (h^2+k^2-hk )\geq 0\iff h^2 -2hk + k^2 + h^2+k^2 \geq 0 \iff (h-k)^2+h^2+k^2 \geq 0$
    Jolie astuce, je n'y aurait pas pensé tout seul.
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