Identification d'une tribu engendrée
Bonsoir
Soit $\mathbb N = \{1,2,3, \dots\}$ ($\mathbb N$ au sens anglo-saxon) et
$$
\mathcal B = \{p \mathbb N \mid p \in \mathbb P\},
$$ où $\mathbb P$ désigne les entiers premiers.
La question est : quelle est la tribu $\sigma(\mathcal $ engendrée par $\mathcal B$ ?
$\mathbb N_{\ge 2} = \{2,3,4,\dots\} \in \sigma(\mathcal $ et $\{1\} \in \sigma(\mathcal $ puisque $$\mathbb N_{\ge 2} = \{2,3,4,\dots\} = \bigcup_{p \in \mathbb P} p \mathbb N.
$$ Je vois que $$\{1, p, p^2, p^3, \dots\} = \mathbb N \setminus \bigcup_{q \in \mathbb P \setminus \{p\}} q \mathbb N \in \sigma(\mathcal
$$ pour tout $p \in \mathbb P$. Mais je n'arrive pas à aller beaucoup plus loin... Est-ce que $\sigma(\mathcal = \mathcal P(\mathbb N)$ ?
Auriez-vous des idées complémentaires ? Merci !
Soit $\mathbb N = \{1,2,3, \dots\}$ ($\mathbb N$ au sens anglo-saxon) et
$$
\mathcal B = \{p \mathbb N \mid p \in \mathbb P\},
$$ où $\mathbb P$ désigne les entiers premiers.
La question est : quelle est la tribu $\sigma(\mathcal $ engendrée par $\mathcal B$ ?
$\mathbb N_{\ge 2} = \{2,3,4,\dots\} \in \sigma(\mathcal $ et $\{1\} \in \sigma(\mathcal $ puisque $$\mathbb N_{\ge 2} = \{2,3,4,\dots\} = \bigcup_{p \in \mathbb P} p \mathbb N.
$$ Je vois que $$\{1, p, p^2, p^3, \dots\} = \mathbb N \setminus \bigcup_{q \in \mathbb P \setminus \{p\}} q \mathbb N \in \sigma(\mathcal
$$ pour tout $p \in \mathbb P$. Mais je n'arrive pas à aller beaucoup plus loin... Est-ce que $\sigma(\mathcal = \mathcal P(\mathbb N)$ ?
Auriez-vous des idées complémentaires ? Merci !
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Réponses
[small]indication: penser à la décomposition en facteurs premiers.[/small]
Le singleton $1$ n'appartient pas à la tribu engendrée par $\mathcal B$ puisqu'il n'appartient à aucun élément de $\mathcal B$. Et je n'ai pas encore trouvé comment produire les singletons !?!
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Merci pour la définition d'une tribu! Mais ça, je connaissais déjà.
Et tu as raison $\{1\}$ appartient bien à $\sigma(\mathcal $.
J'ai l'impression que {12} n'appartient pas à la tribu.
Cordialement.
Je n'ai pour l'instant pas pu prouver qu'un singleton hormis $\{1\}$ appartient à $\sigma(\mathcal $...
L'ensemble des puissances de 2 est dans la tribu (complémentaire dans $2\N$ de la réunion de tous les autres éléments de $B$). A part {1}, je ne vois pas de partie finie de $\N$.
Il me semble qu'il suffit de poser $x \sim y$ si pour tout élément $B$ de la tribu, $x\in B \Leftrightarrow y\in B$ ; on démontre alors que les classes sont des éléments de la tribu et que tout élément de la tribu est réunion de classes.
Il suffit donc de trouver cette partition :-D
Appelons $P$ la partition qui engendre cette tribu.
Mon candidat pour $P$ est : on considère la relation d'équivalence sur $\mathbb{N}^*$ qui est "avoir exactement les mêmes diviseurs premiers". La partition est celle donnée par les classes d'équivalence. On la note $P'$.
Déjà, si on se fixe un ensemble fini $A$ de nombres premiers, l'ensemble des entiers dont l'ensemble des diviseurs premiers est exactement $A$ est l'intersection des $p\mathbb{N}^*$ pour $p$ parcourant $A$, privée des $p\mathbb{N}^*$ pour $p$ parcourant le complémentaire de $A$. Donc cet ensemble est un élément de la tribu. Ainsi, toute classe d'équivalence est un élément de la tribu.
Donc, $\sigma (P') \subset \sigma(P)$. Et donc, $P$ est plus fine que $P'$ (c'est-à-dire que tout élément de $P'$ est réunion de trucs dans $P$ ; en somme, $P$ est obtenue à partir de $P'$ en donnant plus de coups de couteau).
Pour montrer que $P = P'$, on va démontrer que si deux entiers $x$ et $y$ ont exactement les mêmes diviseurs premiers, alors il ne sont pas séparés par la tribu $\sigma(\mathcal{B})$.
Pour cela, il suffit de voir qu'ils ne sont pas séparés par $\mathcal{B}$, et de faire une récurrence transfinie, non ?
Je suis effectivement convaincu par ton approche ! Et j'imagine que tu effectues la récurrence transfinie sur les "étapes de construction" des éléments de la tribu ?