Polynôme de Chebyshev
Bonjour, les polynômes de Chebyshev $T_n(x)$ sont définis par $T_n(x)=\cos(n\arccos(x))$ pour $x\in [-1,1]$.
On peut vérifier que
Soit $n\geq 1$ et $q(x)=2^{n-1}x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dots +b_0$ un polynôme qui a même coefficient dominant que $T_n$ mais pas égal.
Alors $\max_{x\in [-1,1]}|q(x)|>\max_{x\in [-1,1]}|T_n(x)|=1$.
Je vous mets la preuve en pièce jointe, elle est assez simple mais je bute sur le fait que l'on suppose qu'il existe une racine $\xi$ qui soit sur le bord d'un intervalle $\left[\cos\frac{(k+1)\pi}{n},\cos\frac{k\pi}{n} \right ]$. Pourquoi peut-on supposer ceci?
Merci.
On peut vérifier que
- Ce sont bien des polynômes de degré $n$ et que pour $n\geq 1$ ils sont de la forme $T_n(x)=2^{n-1}x^n+\dots$
- $|T_n(x)|\leq 1\; \forall x\in [-1,1]$
- $T_n$ satisfait la relation de récurrence $T_0(x)=1,T_1(x)=x$ et $T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)\; \forall n\geq 1,x\in \mathbb R$
- $T_n\left(\cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n} \right ) \right )=0,\; k=0,\dots,n-1$ (les racines)
- $T_n\left(\cos\frac{k\pi}{n}\right)=(-1)^k,\; k=0,\dots,n$ (les extremums locaus)
Soit $n\geq 1$ et $q(x)=2^{n-1}x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dots +b_0$ un polynôme qui a même coefficient dominant que $T_n$ mais pas égal.
Alors $\max_{x\in [-1,1]}|q(x)|>\max_{x\in [-1,1]}|T_n(x)|=1$.
Je vous mets la preuve en pièce jointe, elle est assez simple mais je bute sur le fait que l'on suppose qu'il existe une racine $\xi$ qui soit sur le bord d'un intervalle $\left[\cos\frac{(k+1)\pi}{n},\cos\frac{k\pi}{n} \right ]$. Pourquoi peut-on supposer ceci?
Merci.
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Réponses
C'est simple. Si toutes les racines de d sont à l'intérieur des intervalles de 1.7, d aura exactement n racines et c'est fini.
Mais rien n'exclut qu'une racine soit sur un bord de l'intervalle 1.7. Donc il faut considérer ce cas. La preuve montre alors que cette racine est double .... c'est important car au final tu te retrouves encore avec n racines.