Équation aux dérivées partielles

Bonjour
On s'intéresse dans ce qui suit aux solutions particulières $\mathcal{M} \equiv \mathcal{M}(t, x, v)$ telles que
\begin{equation}
\left(\partial_{t}+v \cdot \nabla_{x}\right) \mathcal{M}(t, x, v)=0 \tag {1}

\end{equation} On appellera "maxwellienne globale" une fonction continue $\mathcal{M}$ sur $\mathbf{R} \times \mathbf{R}^{3} \times \mathbf{R}^{3}$ à valeurs strictement positives telle que la fonction $(t, x) \mapsto \mathcal{M}(t, x, v)$ soit de classe $C^{1}$ sur $\mathbf{R} \times \mathbf{R}^{3}$ pour tout $v \in \mathbf{R}^{3}$, tandis que la fonction $v \mapsto \mathcal{M}(t, x, v)$ est à décroissance rapide pour tout $(t, x) \in \mathbf{R} \times \mathbf{R}^{3}$, et qui soit solution de $(1)$.

1) Montrer que si $\mathcal{M}$ est une maxwellienne globale, il existe deux fonctions $a \equiv a(t, x),\ c \equiv c(t, x)$ à valeurs réelles et un champ de vecteurs $b \equiv b(t, x) \in \mathbf{R}^{3}$ tels que
$$
\mathcal{M}(t, x, v)=\exp \big(a(t, x)+b(t, x) \cdot v+c(t, x)|v|^{2}\big),

$$ pour tout $(t, x, v) \in \mathbf{R} \times \mathbf{R}^{3} \times \mathbf{R}^{3}$.

J'ai réussit à le montrer.

2) Écrire un système d'équations aux dérivées partielles vérifié par $a, b$ et $c$.

Là, j'ai remplacé la maxwellienne dans $(1)$, et puis j'ai pris $v=0$ pour avoir l'équation en $a,\ \partial_t a +v.\nabla a=0$, et je ne sais pas comment trouver celle de $b$ et $c$.

3) Montrer que $c \equiv c(t)$, et que la fonction $a \equiv a(x)$ est de classe $C^{2}$.

Vu que je suis tombé sur une équation de transport pour $a$, donc pour moi la solution $a$ dépend de $x$ et $t$, et donc je pense que l'équation que j'ai trouvé dans le 2) est fausse

On suppose dorénavant que la fonction $(t, x) \mapsto \mathcal{M}(t, x, v)$ est de classe $C^{2}$ sur $\mathbf{R} \times \mathbf{R}^{3}$ pour tout $v \in \mathbf{R}^{3}$.
4) Montrer que les fonctions $a$ et $c$ sont de la forme
$$
c(t)=c_{2} t^{2}+c_{1} t+c_{0}, \quad a(x)=a_{2}|x|^{2}+a_{1} \cdot x+a_{0}, \qquad x \in \mathbf{R}^{3}, \ t \in \mathbf{R},

$$ avec $c_{0},\ c_{1},\ c_{2},\ a_{0},\ a_{2} \in \mathbf{R}$ et $a_{1} \in \mathbf{R}^{3}$. On précisera les signes de $c_{2}$ et $a_{2}$, et on donnera une expression de $a_{2}$ en fonction de $c_{2}$.

Merci d'avance !