Nombres complexes mardi 4 Mai 2021

Hum!
0 étant toujours solution alors 0+ 1 est ... alors ou c'est vrai.

exact z doit être différent de zéro.

La première idée qui me vient serait de vérifier avec le module mais je suppose qu'il y a un truc plus sioux

Cela m'évoque un sujet de CAPES ou peut-être d'agrégation interne... mais était-ce la même question... ?

Dom, tu ne crois pas à mon contre-exemple :-D. Dans l'énoncé, il faut ajouter que n>1

Rebonjour
$p(z)=(z+1)^n-z^n-1$ est un polynôme de degré $n-1$ qui admet $0$ comme racine et il est facile de voir que
si $a\neq 0$ et $p(a)=0$ alors $p(1/a)=0$.
Ainsi, le nombre de racines en dehors du disque unité est impair (j'ai compté $0$). Si $n$ est impair, $n-1$ est pair donc le nombre [de] racines sur le disque unité est impair. Il y a donc bien au moins une racine sur le disque unité.

Correction. On montre que z et 1/z sont racines avec la même multiplicité.

Bobjour bd, peux-tu expliquer cette phrase il est aisé de voir que chaque racine est simple. Ona edit erreur $$f'(z)=nz^{n-1}\cdot((\frac{z+1}{z})^{n-1}-1)$$

bd2017 a écrit:

D'autre part il est aisé de voir que chaque racine est simple.

Ah bon ? Pourtant, \begin{align*}
(x+1)^7-x^7-1&=7 \, {\left(x^{2} + x + 1\right)}^{2} {\left(x + 1\right)} x\\
(x+1)^{13}-x^{13}-1&=13 \cdot x \cdot (x + 1) \cdot (x^{2} + x + 1)^{2} \cdot (x^{6} + 3 x^{5} + 8 x^{4} + 11 x^{3} + 8 x^{2} + 3 x + 1).\end{align*}Ci-dessous, les racines et les cercles pour $n=7$, $n=9$ et $n=13$.
Comme cela a déjà été remarqué, vu que $0$ et $-1$ sont des racines de $(z+1)^n-z^n-1$ pour $n$ impair, ne faudrait-il pas montrer que l'équation admet des solutions autres que $0$ et $-1$ sur l'un des trois cercles ?

Edit : comme le souligne gai requin ci-dessous, le petit cercle est une erreur de manipulation et devrait être remplacé par la droite verticale $x=-\frac12$.

Bon il faut adapter z et 1/z sont racines avec la même multiplicité.

Bravo marco pour cette réponse rapide.

Cela me fait penser à un exercice posé aux oraux X/ENS :
"Déterminer le plus grand entier $n \geq 2$ tel que toutes les racines non nulles de $(X+1)^{n}-X^{n}-1$ soient de module $1$".

Cordialement.

Bonsoir,

$n$ est impair, $\:P_n(Z):= (Z+1)^n - Z^n -1, \quad E_n :=\{z\in \C\mid P_n(z) =0\}, \quad F_n: =E_n \cap \{z\in \C \mid |z|=1\}.$
$\forall z \in \C, \:\:S(z):=-1-z ,\quad \forall z\in \C\setminus\{-1\},\:\: T(z):=\dfrac {-1}{z+1}.$
Quelques observations:
$1)\: \text{deg}(P_n) = n-1,\quad \forall z \in F_n,\:\: S(z)\in E_n,\quad T(z)\in E_n,\quad \left |S(z)+1\right| = \left| 1+\dfrac 1{T(z)}\right| =1.\:\:$
$2)\:\: $Si $z_1,z_2,\dots z_k$ sont des éléments distincts de $F_n\setminus\{\mathrm j, \mathrm j^2\}$, alors $z_1,\dots z_k, S(z_1),\dots S(z_k), T(z_1),\dots T(z_k)$ sont des éléments deux à deux distincts de $ E_n.$

$3)\:\:$Si $\: n\equiv 1 \mod 3,\:$ alors $\mathrm j, \mathrm j^2$ sont des racines doubles de $P_n(Z).$

$4)\:\: $La recherche des éléments de $F_n$ conduit, via $z=\mathrm e^{2\mathrm it}$, au dénombrement des solutions dans $[0;\pi[$ de l'équation $f(t) = 0$ où $f(t) = (2\cos t) ^n -2 \cos nt.$

Un examen minutieux des changements de signe de $f$ entre $0$ et $\pi$ permet d'en recenser un nombre suffisant, et ainsi d'obtenir, à l'aide des remarques précédentes, une description de $F_n$ et de $E_n$, assez précise pour atteindre la conclusion souhaitée.

$\bullet\:\:$ Si $n\equiv 0 \mod 3, \:\: n =3p.$
$\#F_n = p, \quad F_n =\{-1,z_1,z_2,\dots z_{p-1}\}, \quad z_i \notin \{\mathrm j , \mathrm j^2\},\qquad E_n =F_n \cup\Big \{S(-1), S(z_1),\dots S(z_{p-1})\Big\}\cup\Big \{T(z_1),\dots T(z_{p-1})\Big\}.$

$\bullet \:\: $ Si $ n \equiv 1 \mod 3, \:\: n=3p+1.$
$\#F_n =p+1, \quad F_n =\{\mathrm j, \mathrm j ^2, -1,z_1,z_2,\dots z_{p-2}\} , \qquad E_n= F_n \cup\Big\{S(-1), S(z_1),\dots S(z_{p-2})\Big\}\cup \Big\{T(z_1),\dots T(z_{p-2})\Big\}.$

$\bullet\:\: $ Si $n \equiv 2 \mod 3, \:\: n =3p+2.$
$\#F_n=p+2,\quad F_n =\{\mathrm j, \mathrm j^2, -1 , z_1,z_2,\dots z_{p-1}\} ,\qquad E_n= F_n \cup \Big \{S(-1), S(z_1),\dots S(z_{p-1})\Big\}\cup \Big\{T(z_1),\dots T(z_{p-1})\Big\}.$
Ainsi, dans chacun des trois cas précédents, tous les zéros de $P_n(Z)$ possèdent bien les propriétés requises.

NBL'équation $P_8(z) =0$ possédant des solutions telles que $|z|, |z+1|, \left|1+ \dfrac 1z\right|$ sont distincts de $1$, le résultat cesse d'être vrai lorsque $n$ est pair.