L'équation $\cos^n(x)-\sin^n(x)=1$
Bonsoir,
J'ai récupéré un vieux manuel de terminale C de 1989 et étant d'un niveau bac+1, j'étais vraiment surpris de voir une telle différence de niveau, notamment avec les derniers exercices des chapitres qui sont des exos d'olympiades ou du concours général.
J'ai donc tenté un de ces exercices.
Résoudre dans $\mathbb{R},\quad \cos^n(x)-\sin^n(x)=1,$ où $n\in\mathbb{N^*}$.
J'ai fait une étude bourrine de la fonction $f :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\cos^n(x)-\sin^n(x)-1$ en distinguant les cas $n$ pair et $n$ impair. Je n'ai trouvé les solutions $x_1$ et $x_2$ que pour $n$ impair : $x_1=2k\pi$ et $x_2=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$ avec $k$ entier relatif.
Auriez-vous une idée de résolution pour $n$ pair ou une méthode plus élégante pour résoudre cette équation ??
Merci de votre aide.
J'ai récupéré un vieux manuel de terminale C de 1989 et étant d'un niveau bac+1, j'étais vraiment surpris de voir une telle différence de niveau, notamment avec les derniers exercices des chapitres qui sont des exos d'olympiades ou du concours général.
J'ai donc tenté un de ces exercices.
Résoudre dans $\mathbb{R},\quad \cos^n(x)-\sin^n(x)=1,$ où $n\in\mathbb{N^*}$.
J'ai fait une étude bourrine de la fonction $f :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\cos^n(x)-\sin^n(x)-1$ en distinguant les cas $n$ pair et $n$ impair. Je n'ai trouvé les solutions $x_1$ et $x_2$ que pour $n$ impair : $x_1=2k\pi$ et $x_2=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$ avec $k$ entier relatif.
Auriez-vous une idée de résolution pour $n$ pair ou une méthode plus élégante pour résoudre cette équation ??
Merci de votre aide.
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Réponses
Si $n$ est pair; la période est $\pi$, les deux termes du premier membre sont inférieurs à $1$ et on les retranche.
Donc il faut $\cos(x)=1$ et $\sin(x)=0$.
Tu peux aussi voir ce que ça donne avec Géogébra pour quelques valeurs de $n$.
Cordialement,
Rescassol
Pose $u=|\cos(x)|$
$|\cos(x)^n-\sin(x)^n|\leq |\cos(x)|^n+|\sin(x)|^n| =u^n +(1-u^2)^{n/2} <
u^n+1-u^n=1 ,\ $ si $\ 0<u^2<1$ (inégalité de Bernoulli).
En effet pour finir nécessairement il faut $u=0$ et $u=1$...
Par périodicité, on considère $\displaystyle x\in\,]{-}\pi,\pi].$
Pour $n=2 m$ pair non nul, on écrit $\displaystyle \cos^{2m} x=1+\sin^{2 m} x.$
Si $\displaystyle \sin x\neq 0$, alors $\displaystyle \cos^{2m} x>1$ : contradiction.
Donc $\sin x=0$, et alors $\displaystyle x=\pi \Z$ pour les solutions réelles.
Pour $n=2m+1$ impair, on écrit $\displaystyle \cos^{2m+1} x=1+\sin^{2m+1} x\geq 0.$
Si $\displaystyle x\in \,]0,\pi[$, alors $\displaystyle \cos^{2m+1} x>1$ : contradiction.
Si $\displaystyle x\in\,]{-}\pi,{-}\pi/2[\,\cup\,]{-}\pi/2,0[\ \cup\{\pi\}$, alors $\displaystyle \cos^{2 m+1} x<0$ : contradiction.
Et donc $\displaystyle x=2\pi\Z$ ou $\displaystyle x=-\pi/2+2\pi\Z$ pour les solutions réelles.
Voilà !
Soit $n \ge 3$. Si $ \cos x \notin \{-1,1 \}$ alors $|\cos x|<1$, d'où ::
$1=|\cos^n x - \sin^n x| \le |\cos x|^n + |\sin x|^n< |\cos x|^2 + |\sin x|^2=1$, impossible.
Etc.
Bonne journée de ce 5 mai 2021.
[small]Vive l'Empereur ![/small]
https://www.google.com/search?client=firefox-b-d&q=marche+consulaire
C'est nouveau? Cela ressemble à du @Os
Cordialement.
La suite me semble correcte.