L'équation $\cos^n(x)-\sin^n(x)=1$

n12345 · May 2021

Bonsoir,
J'ai récupéré un vieux manuel de terminale C de 1989 et étant d'un niveau bac+1, j'étais vraiment surpris de voir une telle différence de niveau, notamment avec les derniers exercices des chapitres qui sont des exos d'olympiades ou du concours général.
J'ai donc tenté un de ces exercices.

Résoudre dans $\mathbb{R},\quad \cos^n(x)-\sin^n(x)=1,$ où $n\in\mathbb{N^*}$.

J'ai fait une étude bourrine de la fonction $f :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\cos^n(x)-\sin^n(x)-1$ en distinguant les cas $n$ pair et $n$ impair. Je n'ai trouvé les solutions $x_1$ et $x_2$ que pour $n$ impair : $x_1=2k\pi$ et $x_2=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$ avec $k$ entier relatif.

Auriez-vous une idée de résolution pour $n$ pair ou une méthode plus élégante pour résoudre cette équation ??
Merci de votre aide.

Rescassol · May 2021

Bonjour,

Si $n$ est pair; la période est $\pi$, les deux termes du premier membre sont inférieurs à $1$ et on les retranche.
Donc il faut $\cos(x)=1$ et $\sin(x)=0$.
Tu peux aussi voir ce que ça donne avec Géogébra pour quelques valeurs de $n$.

Cordialement,

Rescassol

bd2017 · May 2021

Bonjour

Pose $u=|\cos(x)|$
$|\cos(x)^n-\sin(x)^n|\leq |\cos(x)|^n+|\sin(x)|^n| =u^n +(1-u^2)^{n/2} <
u^n+1-u^n=1 ,\ $ si $\ 0<u^2<1$ (inégalité de Bernoulli).

En effet pour finir nécessairement il faut $u=0$ et $u=1$...

etanche · May 2021

Problème 3 olympiade internationale de mathématiques 1961 à Budapest

YvesM · May 2021

Bonjour,

Par périodicité, on considère $\displaystyle x\in\,]{-}\pi,\pi].$

Pour $n=2 m$ pair non nul, on écrit $\displaystyle \cos^{2m} x=1+\sin^{2 m} x.$
Si $\displaystyle \sin x\neq 0$, alors $\displaystyle \cos^{2m} x>1$ : contradiction.
Donc $\sin x=0$, et alors $\displaystyle x=\pi \Z$ pour les solutions réelles.

Pour $n=2m+1$ impair, on écrit $\displaystyle \cos^{2m+1} x=1+\sin^{2m+1} x\geq 0.$
Si $\displaystyle x\in \,]0,\pi[$, alors $\displaystyle \cos^{2m+1} x>1$ : contradiction.
Si $\displaystyle x\in\,]{-}\pi,{-}\pi/2[\,\cup\,]{-}\pi/2,0[\ \cup\{\pi\}$, alors $\displaystyle \cos^{2 m+1} x<0$ : contradiction.
Et donc $\displaystyle x=2\pi\Z$ ou $\displaystyle x=-\pi/2+2\pi\Z$ pour les solutions réelles.

Voilà !

Chaurien · May 2021

Pour $n=1$ ou $n=2$, ça se fait directement, pour ainsi dire.
Soit $n \ge 3$. Si $ \cos x \notin \{-1,1 \}$ alors $|\cos x|<1$, d'où ::
$1=|\cos^n x - \sin^n x| \le |\cos x|^n + |\sin x|^n< |\cos x|^2 + |\sin x|^2=1$, impossible.
Etc.
Bonne journée de ce 5 mai 2021.
[small]Vive l'Empereur ![/small]
https://www.google.com/search?client=firefox-b-d&q=marche+consulaire

bd2017 · May 2021

Chaurien a écrit:

Soit $n \ge 3$. Si $ \cos x \notin \{-1,1 \}$
alors $|\cos x|<1$, d'où ::
$1=|\cos^n x - \sin^n x| \le |\cos x|^n + |\sin
x|^n< |\cos x|^2 + |\sin x|^2=1$, impossible.

C'est nouveau? Cela ressemble à du @Os