Inégalité sur des espaces vectoriels normés

J'ai une réponse complète (mais pas la constante $1$) cependant ce n'est pas vraiment élementaire car basé sur des considérations de dualité, des inégalités probabilistes (inégalité de Khintchine) et la connaissance d'une estimation de la distance de Banach-Mazur d'un evn de dimension $d$ à $\ell_{d}^{2}$ (théorème de John).

***Traitons d'abord le cas de l'evn sous-jacent $E=\ell_{d}^{2}$ muni de sa norme euclidienne naturelle $\|.\|_{2}.$

Considérons $(x_{i})_{i=1,\ldots,n}$ une famille de vecteurs de $E$ où on écrira pour $i\in \{1,\ldots,n\},$ $x_{i}=(x_{i,1},\ldots,x_{i,d}).$
Alors, on a en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour une quantité vérifiant : $\displaystyle \sum_{k=1}^{d}a_{k}^{2}\leq 1,$
\begin{align*}
\|\sum_{i=1}^{n}\varepsilon_{i}x_{i}\|_{2} & =\sqrt{\sum_{k=1}^{d}(\sum_{i=1}^{n}\varepsilon_{i}x_{i,k})^{2}}\\
& \geq \sum_{k=1}^{d}a_{k}\sum_{i=1}^{n}\varepsilon_{i}x_{i,k}\\
& = \sum_{i=1}^{n}\varepsilon_{i}\sum_{k=1}^{d}a_{k}x_{i,k}.
\end{align*}

On choisit alors $a_{k}=\frac{X_{k}}{\sqrt{d}}$ où la famille $(X_{k})_{k=1,\ldots,n}$ désigne une famille i.i.d de Rademacher.
Ainsi, par les inégalités de Khintchine, on a
\begin{align*}
\mathbb{E}[\sum_{i=1}^{n}\vert \sum_{k=1}^{d}a_{k}x_{i,k}\vert] & = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}[\vert \sum_{k=1}^{d}X_{k}x_{i,k}\vert]\\
& \geq \frac{1}{\sqrt{2d}}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\mathbb{E}[(\sum_{k=1}^{d}X_{k}x_{i,k})^{2}]}\\
& =\frac{1}{\sqrt{2d}}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\sum_{k=1}^{d}x_{i,k}^{2}}\\
& = \frac{1}{\sqrt{2d}}\sum_{k=1}^{n}\|x_{i}\|_{2}.
\end{align*}

Ainsi, il existe $\omega$ une réalisation des VAs $(X_{k})_{k=1,\ldots,n}$ telle que $$\sum_{i=1}^{n}\vert \sum_{k=1}^{d}a_{k}(\omega)x_{i,k}\vert \geq \frac{1}{\sqrt{2d}}\sum_{k=1}^{n}\|x_{i}\|_{2}.$$
En choisissant pour $i\in \{1,\ldots,n\},$ $\varepsilon_{i}$ comme étant le signe de $\sum_{k=1}^{d}a_{k}(\omega)x_{i,k},$ on obtient finalement :
\begin{align*}
\|\sum_{i=1}^{n}\varepsilon_{i}x_{i}\|_{2} & \geq \sum_{i=1}^{n}\vert \sum_{k=1}^{d}a_{k}(\omega)x_{i,k}\vert.\\
& \geq \frac{1}{\sqrt{2d}}\sum_{k=1}^{n}\|x_{i}\|_{2}.
\end{align*}

***Pour le cas général, on utilise le théorème de John à savoir que la distance de Banach-Mazur de n'importe quel evn de dimension $d$ à $\ell_{d}^{2}$ est majorée par $\frac{1}{2}\ln(d).$
Ce théorème stipule la chose suivante : il existe un isomorphisme $T$ de $\ell_{d}^{2}$ sur $E$ vérifiant $$\forall x\in E,\mbox{ } a\|T(x)\|_{2}\leq \|x\|\leq b\|T(x)\|_{2} \mbox{ où } \frac{b}{a}\leq \sqrt{d}.$$

Ainsi, par le point précédent, il existe un choix de signes $(\varepsilon_{i})_{i=1,\ldots,n}$ pour lequel :
\begin{align*}
\|\sum_{i=1}^{n}\varepsilon_{i}x_{i}\|& \geq a\|\sum_{i=1}^{n}\varepsilon_{i} T(x_{i})\|_{2}\\
& \geq \frac{a}{\sqrt{2d}}\sum_{i=1}^{n}\|T(x_{i})\|_{2}\\
& \geq \frac{a}{b}\times \frac{1}{\sqrt{2d}}\sum_{i=1}^{n}\|x_{i}\|\\
& \geq \frac{1}{d\sqrt{2}}\sum_{i=1}^{n}\|x_{i}\| \mbox{ car } \frac{a}{b}\geq \frac{1}{\sqrt{d}}.
\end{align*}

Bonjour, voilà une réponse si $n=d$, qui implique le cas $d\ge n$. Si $n>d$ à voir.
Le problème est jolie et tu feras bien de nommer la source.
Soit $x_1,\ldots,x_n$, $n\ge 3$ dans un espace vectoriel normé $(E,\|.\|).$ Soit $s_i=x_1+x_2+\cdots+x_{i-1}-x_i+x_{i+1}+\cdots +x_n$ i.e. la somme des $\sum_{j\neq i}x_j-x_i$. Alors $$\sum_{i=1}^n\|s_i\|\ge \sum_{i=1}^n\|x_i\|$$ en particulier tu as l'énoncé donné en premier.
Pour $n=2$ voir le message précédent,
l' idée ici est de considérer la matrice $A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & -1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & -1 \end{pmatrix}$ où les entrées diagonales sont $ -1$ et le reste $1$, remarquer que $AX=S$ avec $X=(x_1,\ldots,x_n)^t$ et $S=(s_1,\ldots,s_n)^t$. L'inverse de cette matrice est la matrice $B=
\begin{pmatrix} \dfrac{-(n-3)}{2n-4} & \dfrac{1}{2n-4}& \cdots &\dfrac{ 1}{2n-4} \\ \dfrac{1}{2n-4} &\dfrac{-(n-3)}{2n-4} & \cdots &\dfrac{1}{2n-4} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{1}{2n-4}& \dfrac{1}{2n-4} & \cdots & \dfrac{-(n-3)}{2n-4} \end{pmatrix}.$
Il suffit d'exprimer les $x_i$ en fonction des $s_i$ et appliquer l'inégalité triangulaire. Si $a=\dfrac{-(n-3)}{2n-4}$ et $b=\dfrac{1}{2n-4}$ alors $ |a|+(n-1)|b|=1$.

Edit

Le cas $d=1$ et $n\geq 1$ est direct.
Pour $d\geq 2,$ si $n\leq d,$ je ne l'avais pas écrit mais la preuve probabiliste indiquée plus haut peut être modifiée de la manière suivante.
On considère ici que les $(\varepsilon_{i})$ sont des VAs indépendantes de Rademacher.
Comme toujours, on traite le cas d'une norme euclidienne pour commencer.
En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, il vient :
\begin{align*}
\mathbb{E}\Big[\|\sum_{k=1}^{n}\varepsilon_{k}u_{k}\|_{2}^{2}\Big] & =\sum_{k=1}^{n}\|x_{k}\|_{2}^{2}\\
& \geq \frac{1}{n}\Big(\sum_{k=1}^{n}\|x_{k}\|_{2} \Big)^{2}.
\end{align*}
Ainsi, il existe un choix de signes $\varepsilon_{i}(\omega)$ pour lequel :
$$\|\sum_{k=1}^{n}\varepsilon_{k}(\omega)u_{k}\|_{2}\geq \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}\|x_{k}\|_{2} \geq \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=1}^{n}\|x_{k}\|_{2}.$$
Le lemme de John permet de conclure dans le cas d'une norme quelconque.

Bonjour, @etanche oui si tu ouvre le dernier article que j'ai pointé à la fin la constante (l'inégalité) de ton fil est connu, mais tout dépend du nombre $n$ ( vecteurs ) alors que là il y a $d$ la dimension etc.

Bonjour
Par contradiction on a:
$||x_1-\sum_{j\neq 1} x_j ||< 1/ d \sum_i ||x_i|| $

et aussi
$||x_1+\sum_{j\neq 1} x_j ||< 1/ d \sum_i ||x_i||$

D'où $||2x_1|| =||(x_1-\sum_{j\neq 1} x_j)+(x_1+\sum_{j\neq 1} x_j)||< 2/d \sum_i ||x_i|| $

ou encore $||x_1|| <1/d \sum_i ||x_i|| $

et de même on montre que $||x_j|| <1/d \sum_i ||x_i|| ,j=1,...d $

En sommant on obtient $\sum_j ||x_j|| <\sum_i ||x_i|| . $ contradiction.