Équation 4 Mai 2021

Sur $\R$, pour $n\geq 3$, on étudie la fonction $f_n=\mathrm{cosh}^n-\mathrm{sinh}^n$ et on constate qu'elle est strictement décroissante sur $\R^-$ et strictement croissante sur $\R^+$ donc minimale en $0$ où elle vaut $1$.
Par conséquent, pour $n\geq 3$, l'unique solution sur $\R$ est $x=0$.

Du message de bisam il résulte que pour tout entier $n \ge 3$, si $c>1$, l'équation $\cosh^n x - \sinh^n x=c$ a exactement deux solutions réelles, une positive et une négative. Et si $c<1$, cette équation n'a aucune solution réelle
Maintenant, je ne vois pas comment résoudre cette équation dans $\C$.

Pour la résolution dans $\C$, on peut sans doute considérer le polynôme $P_n=(X^2+1)^n-(X^2-1)^n-2^n X^n$, qui est de degré $2n-2$ et tel que pour tout $x\in\C$, $f_n(x)=1\Leftrightarrow P_n(e^x)=0$.

Pour commencer, il s'agit de déterminer la multiplicité de la racine $1$ du polynôme $P_n$.
Si je ne me suis pas trompé, $P_n'(1)=0$ mais $P_n''(1)=2^n n\neq 0$ donc $1$ est racine de multiplicité $2$.

Si $n\geq 3$, il ne reste plus que $2n-4$ racines à trouver. Elles sont complexes non réelles et conjuguées deux par deux car $P_n$ est réel.

Comme $P_n$ est même à coefficients entiers, on peut peut-être même utiliser de l'arithmétique.